¿Con qué frecuencia ocurre que la más vieja persona viva muere?

Question

Hoy en día, nos trajo la triste noticia de que el más antiguo de Europa mujer murió. Un poco más de una semana atrás, el más antiguo de la persona en los Estados Unidos por desgracia murió. Ayer, la más antigua de Holanda hombre murió pacíficamente. El Grupo de Investigación en Gerontología mantiene registros: libro Guinness de los Récords.

Si usted vive en un país con $N_{\text{country}}$ people, a continent with $N_{\text{continent}}$ people, and a world with $N_{\text{world}}$ personas que, durante un año, y en promedio, ¿con qué frecuencia usted será notificado (si estás prestando atención a su calidad tabloide) de la muerte de los más antiguos de hombre/mujer/persona viva de su país/continente/mundo? (Tenga en cuenta que un resultado de muerte en la mayoría de notificación.)

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Edición, Sugerencias (debido a los comentarios, gracias!) sólo:

En última instancia, estoy buscando una fórmula realista. Eso significa que las tablas de vida son ciertamente permitido (pero la mente el final, y tenga en cuenta que algunas de las personas de mayor edad son mayores que el máximo en las tablas).

Supongo que la Gompertz–Makeham ley de la mortalidad, o cualquier modelo plausible de finales de la vida de la mortalidad, también es un juego justo.

Sin embargo, estas sugerencias no impide que algunos percepción o suposición realista que podría no necesita ninguna de esas cosas.

Más potencialmente útil supuestos (con respecto a una subpoblación) puede incluir (si es razonable w.r.t. la pregunta):

1. El tiempo es discreto.
2. El número de nacimientos en cualquier momento es constante.
3. El número de muertes en cualquier momento es constante.
4. El número de nacimientos es igual al número de muertes en cualquier momento.
5. El tiempo se define de tal manera que, en cualquier momento, un nacimiento y una muerte ocurra.
6. En el límite infinito de edad, la probabilidad de una persona de tal edad muriendo va a $.
7. En cualquier momento, el más antiguo de la persona(s) vivo es (son) más probabilidades de morir.
8. En cualquier momento, una persona de edad avanzada(s) vivo es (son) más probabilidades de morir que cualquier persona joven con vida.

(A pesar de que tales supuestos no son necesariamente realista, yo no ver de inmediato cómo se podría distorsionar el resultado.)

Answer 1

Creo que esta pregunta es la mejor acercó a través de la cuidadosa elaboración de modelos, en lugar de las matemáticas puras. Aquí es el enfoque que tomó. No estoy diciendo que este es el perfecto enfoque por cualquier medio, pero es un comienzo.

Spoiler: Mi simulaciones de dar una tasa de aproximadamente una vez cada 0.66 años, para una población de 7 mil millones de personas que comparten con Estados Unidos las estadísticas de mortalidad.

Primero, tomé el NOS tablas de mortalidad desde el Centro de Control de Enfermedades. Ellos sólo van hasta la edad de 100 años, por lo que necesito para extrapolar más allá de eso. He instalado una ley de energía para el riesgo de tasa de $h(a)$ which gives the probability of dying between age $a$ and $a+1$, al pasar

$$h(a) = 3.54 \times 10^{-15} \times a^{6.933}$$

Asumo $h(a)=1$ in the case that my power law gives me a number above 1. This occurs at $a=122$, lo que parece realista (la persona de más edad a vivir murió a la edad de 122).

Luego he simulado una evolución de la población hasta que se pusieron de acuerdo en una distribución estable. Asumo $N(a)$ people at age $A$, and a constant birth rate of \times 10^7$ de personas cada año (elegidos para dar una estable popluation de 7 millones de dólares). El resultado es razonable-mirando la pirámide de población:

Ahora que tengo una población estable, me simular de nuevo. Para cada edad $a$, the number of people of age $a$ in year $t$ is the fraction of the population aged $a-1$ at time $t-1$ que no mueren, es decir,

$$N(t,a) = (1-h(a-1)) \times N(t-1, a-1)$$

Cuando proceda me aproximada el número de muertes con la distribución normal, pero para las pequeñas poblaciones puedo usar la distribución binomial. En el caso de que existen algunas muertes en el mayor tramo de edad, puedo calcular la probabilidad de que la persona que murió era la persona de más edad en el mundo en ese momento, y el registro de este evento.

Tomando el número total de eventos, y dividiendo por el número de años que me ejecute la simulación, da una tasa aproximada. El remate es que en mi simulación, veo 15,234 eventos en 10.000 años, para una tasa aproximada de una vez en cada 0.66 años.

Suponiendo una población de mil millones de personas (la población del mundo desarrollado, para que el NOS de las estadísticas de mortalidad son más propensos a aplicar) podemos ver el siguiente histograma, que da la edad de la persona de más edad en el mundo en el momento de morir. Comparando a la página de wikipedia para más antigua de la gente que parece como si los números son demasiado altos por 1-2 años, pero por lo demás estoy sorprendido de que tan preciso es este modelo crudo es!

Un gráfico final. Esta es la forma en que el número de muertes de las más antiguas de vida de la persona cada año varía como una función de la población total. A grandes rasgos, parece ser lineal en el logaritmo de la población. Me interesaría ver una más rigurosa en el tratamiento matemático que se puede obtener este resultado

Edit: he corregido un bug que hacía que me la estimación de la velocidad es demasiado alta. Yo era la aproximación de la binomial $B(n,p)$ with a normal distribution $\sigma=np(1-p)$ rather than $\sigma^2=np(1-p)$.

Edición no. 2: se señaló en los comentarios que yo había otro error, y también me di cuenta de que yo no era siempre la comprobación de la posibilidad de que más de 1 'antigua' de la persona que muere en un año determinado.

Answer 2

El Grupo de Investigación en Gerontología mantiene registros

He traído esto sobre el GRG y Louis virus de Epstein publicado la tabla "CRONOLÓGICO de la más ANTIGUA de VIDA LISTADOS de las PERSONAS (Desde 1955)". He extraído la columna final, la muerte fechas y formato y se extrae el intervalo entre la muerte fechas de cada persona, el razonamiento de que si la Persona de más edad En El Mundo, que murió en 1955 es sucedido por una persona que murió en 1956, que significó un observador, en 1955, esperar ~1 año para la nueva Persona de más edad a morir. El intervalo medio entre las muertes resulta ser de 1,2 años, pero la mediana de esperar, resulta ser 0.65 años! Esto parece ser debido, en gran parte debido a la asombrosa vida de Jeanne Calment, como se verá en el intervalo gráfico poco:

deaths <- as.Date(c("1955-10-24","1959-06-25","1961-02-10","1964-12-30",
                    "1965-08-06","1966-01-10","1968-03-21","1968-06-16",
                    "1970-01-11","1973-02-27","1973-08-18","1973-10-31",
                    "1975-05-31","1976-11-16","1977-12-02","1978-04-25",
                    "1981-01-22","1981-03-09","1982-11-13","1983-10-13",
                    "1985-02-16","1986-10-21","1987-02-02","1987-12-27",
                    "1988-01-11","1997-08-04","1998-04-16","1999-12-30",
                    "2000-11-02","2001-06-06","2002-03-18","2003-10-31",
                    "2003-11-13","2004-05-29","2006-08-27","2006-12-11",
                    "2007-01-24","2007-01-28","2007-08-13","2008-11-26",
                    "2009-01-02","2009-09-11","2010-05-02","2010-11-04",
                    "2011-06-21","2012-12-04","2012-12-17"))

plot(deaths)

Parcela de años de cada fecha:

R> intervals <- NULL; for (i in 1:(length(deaths)-1)) { intervals[i] <- deaths[i+1] - deaths[i] }
R> intervals
 [1] 1340  596 1419  219  157  801   87  574 1143  172   74  577  535  381  144 1003   46  614  334
[20]  492  612  104  328   15 3493  255  623  308  216  285  592   13  198  820  106   44    4  197
[39]  471   37  252  233  186  229  532   13
R> summary(intervals)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
      4     147     270     454     588    3490
R> # the monstrous 3493 outlier is Jeanne Louise Calment:
R> # her predecessor Florence Knapp died in 1988, she in 1997

plot(intervals)

Gráfico el tamaño de los sucesivos intervalo entre la muerte de la anterior Persona de más edad y el reemplazo de la Persona de más edad:

Se los dejo a ustedes para comparar las observaciones empíricas con los modelos matemáticos; lo interesante para mí es que echando un vistazo, parece ser que hay una especie de tendencia lineal hacia abajo, donde los más antiguos Persona se está muriendo más rápido con el tiempo. Esto podría ser debido a la mala recolección de datos (si la real Persona de más edad es de 110 pero sólo encontré algunas 105 piker, entonces su falso persona más probablemente de vivir más que la real Persona de más edad hizo) mejorando con el tiempo, o tal vez más interesante fenómeno donde la medicina es la mejora o la población está creciendo, y así hay muchas más centenarios, y así la Persona de más edad es cada vez más estrecha hasta el extremo de lo que es posible y, naturalmente, se desliza por el acantilado que mucho más rápido (desde este punto de vista, Calment es aún más de un extraordinario valor atípico).

Answer 3

Super-respuesta simple, dependiendo sólo en algunos crudo propiedades de las tasas de mortalidad:

Parece que a muy avanzada edad, la tasa de mortalidad varía lentamente con la edad y está en el orden de 50% por año. (Si esto está mal, todo lo demás en esta respuesta es errónea. Por otro lado, si es correcto, entonces es todo lo que necesitamos.)

Es básicamente siempre el caso de que la persona más vivo, es muy antiguo.

Por lo tanto, en cualquier momento de la muerte-de-la más antigua-persona de proceso es de aproximadamente de Poisson con tasa 1/2, tan típico de las brechas entre estos eventos serán en el orden de los 2 años.

[EDITADO para añadir: Un poco de wikipedia-grovelling sugiere que los recientes más antiguos de la persona muertes han sido: Dina Manfredini, 2012-12; Besse Cooper, 2012-12; Maria Gomes Valentim, 2011-06; Eunice Sanborn, 2011-01; Eugenia Blanchard, 2010-10. Eso es mucho más frecuente, lo que sugiere que la mortalidad acelera muy rápidamente en edades extremas. Estoy confundida porque Chris Taylor simulación da resultados comparables a los de la mina, a pesar de tener esa característica, incluso después de que él fija su error; tal vez él tiene otra? :-)]

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Esta es sólo débilmente sensible al tamaño de la población. (En una población de tamaño N, la mediana de la edad de la persona de más edad será de aproximadamente el 1-log(2)/N cuantil de la distribución por edad, y dado el supuesto de que por encima de esta no varían mucho entre, digamos, N=10^3 y N=10^6.)

Es sensible en la forma obvia de variación en que asintótica tasa de mortalidad: si p entonces típicos de las brechas entre los más antiguos de la persona muertes será 1/p. (Así, en particular, más bien pequeños errores en la estimación de p llevar a la pequeña errores en la estimación del tiempo entre los más antiguos de la persona muertes.)

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Por otro lado, si la tasa de mortalidad resulta varían rápidamente con la edad, más allá de un cierto umbral (por ejemplo, en algunos malintencionados dios mata a todo el mundo una vez que llegan a los 120 o algo así) entonces el análisis anterior podría ser muy malo. En el caso extremo en el que un malintencionado dios mata a todos una vez que lleguen a algún fácilmente accesible edad, la más antigua de las persona de la tasa de mortalidad es sólo la tasa de natalidad veces la probabilidad de llegar a la edad en cuestión.

Answer 4

Este problema es similar a encontrar la distribución de un proceso estocástico en un momento determinado. En el caso de que usted necesita para resolver una EDP para que usted necesita alguna condición inicial con el fin de encontrar una solución única.

Así, la solución de este problema implica el conocimiento de la distribución de edades de la vida de las personas, en una población determinada en el tiempo $t_0$. Esto significa que sabemos en este momento cuántas personas de la edad de 1 año, 2 años, 3 años de edad ..., la edad de 122,... tenemos en nuestra población.

Notación : ${}_xP_n$ -probability of a a person of age $n$ to survive $x$ years(lives up to $x+n$); ${}_xQ_n$ -probability of a a person of age $n$ to die in the next $x$ years(dies before $x+n$); $E_n$ -expectation of life of a a person of age $n$ (how many years will she live on average); $l_n$ - number of people having age $n$ at time $t_0$; $h$ -highest life for which ${}_1P_h$ es positivo.

Ahora, la persona $Y$ born at time $t_0$ is the youngest person alive. The probability that this person to be the oldest person alive at some time $t_x$ (where $t_x=t_0+x$) in the future can be calculated as the product of: the probability that $Y$ lives up to the age $x$ and the probabilities that the people having ages $n_1,n_2,...$ at time $t_0$ live less than (die before) $x+n_1,x+n_2,...$: \begin{ecuación} O_x={}_xP_0 \prod_{n=1}^h{}_{x+n}Q_0^{l_n } \end{ecuación} Calculamos el $O_x$ for $x\in\{1,2,\dots,h \}$ to obtain the probabilities that $Y$ is the oldest person for various values of $x$. Ahora, en un tiempo en general ($t_x$, the person $Y$ is the oldest person with probability $O_x$ and her life expectancy is $E_x$. Given the formula for the life expectancy $E_x=\sum_{t=1}^h {}_tP_x $ we can say that, on average, the oldest person at a general time $t_x$ vivir: \begin{ecuación} E_x \cdot O_x=\sum_{t=1}^h {}_tP_x \cdot \Big[{}_xP_0 \prod_{n=1}^h{}_{x+n}Q_0^{l_n }\Big] \end{ecuación}

Tenga en cuenta que esta solución no es garantía de que en el momento $t_x$, the person $Y$ is the only person of age $x$ (not the unique oldest person). To take the uniqueness into consideration we will have to multiply the relation above by the probability that the other people born at $t_0$ die before $t_x$.

Answer 5

Un enfoque sería asumir:

• no cambiar (periodo) de la tabla de vida y, por tanto,
• la distribución de la edad de una persona al azar.

Deje que esta distribución se llama $F$, so the density of the oldest person of a population of $N$ being $t$ years should be $\frac{d}{dt}F(t)^N$. With the constant life table one can calculate the conditional density of having to wait $t'$ until the oldest person dies, given the oldest person is now $t$ years old. Let this density be called $g$. Con esto el tiempo de espera hasta que una persona de más edad muere sería:

$\int_0^\omega \frac{d}{dt}F(t)^N \int_t^\omega g(t') \cdot t' dt' dt$

Si uno no desea imponer una final de la edad de $\omega$ uno puede establecer hasta el infinito. Tal vez este no acaba de responder a su pregunta como es que se espera que el tiempo de espera de un momento dado y no condicionado a la persona de más edad sólo por haber muerto, pero podría señalar a otros a la solución correcta.