Demostrar que $ (\mathbb{Q}\times\mathbb{R})\cup (\mathbb{R}\times\mathbb{Q})$ es un subespacio localmente conectado y conexo de $\mathbb{R}^2$

Question

El libro que estoy utilizando para mi curso de Introducción a la Topología es Principios de Topología de Fred H. Croom.

Demostrar que $A = (\mathbb{Q}\times\mathbb{R})\cup (\mathbb{R}\times\mathbb{Q})$ es un subespacio localmente conectado y conexo de $\mathbb{R}^2$

Esto es lo que tengo entendido:

• Un espacio $X$ es conectado siempre que no pueda escribirse como la unión disjunta de específicamente dos conjuntos abiertos.
• Un espacio $X$ es conectado localmente en un punto $a$ en $X$ si todo conjunto abierto que contiene $a$ contiene un conjunto abierto conectado que contiene $a$ . El espacio $X$ es localmente conectado siempre que lo sea en cada punto.
• Soy consciente de que ni lo conectado ni lo localmente conectado implica lo otro, ni tampoco sus negaciones. Lo que significa que tendría que demostrar cada una de ellas.
• Ahora el conjunto de racionales está desconectado (de hecho totalmente desconectado). $\mathbb{R}^2$ está conectada y localmente conectada.
• $A \subseteq \mathbb{R}^2$

Estoy un poco atascado en cómo enfocar esta cuestión; sin embargo, tengo una idea aproximada.

Para demostrar $A$ está conectado, puedo afirmar que $A$ está desconectado. Entonces existen dos conjuntos no vacíos $U$ y $V$ tal que $U\cup V=A$ y $U \cap V = \emptyset$ . Así, $U$ y $V$ están cerrados. Eventualmente, debería llegar a una contradicción porque $\emptyset$ y $A$ son los únicos subconjuntos de $A$ que son clopen, demostrando $A$ está conectado. Sin embargo, no estoy seguro de cómo ejecutar correctamente el enfoque.

Para demostrar $A$ está conectada localmente. Puedo reclamar el espacio $A$ tiene una base local $\mathscr{B}_a$ . Tendría que demostrar que $\mathscr{B}_a$ consisten en conjuntos abiertos conectados, demostrando $A$ está conectada localmente.

¿Estoy en el camino correcto? ¿Alguna sugerencia sobre cómo puedo proceder con mis ideas?

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Perdón por la larga lectura. Si hay algún error en lo que he dicho arriba, por favor hágamelo saber para que pueda corregirlo. Le agradezco sinceramente que se haya tomado el tiempo de leer esta pregunta. Aprecio enormemente cualquier ayuda que pueda proporcionar.

Answer 1

Para "conectado", te sugiero que demuestres que está conectado por el camino. Para encontrar un camino desde $(q, r)$ a $(q', r')$ , muévete a lo largo del borde $([q, 0], r)$ que está en el primer componente, y luego a lo largo de $(0, [r, r'])$ y luego a lo largo de $([0, q'], r')$ . Una vez que se entiende esto (observando los casos en los que $q < 0, q> 0, q = 0$ etc.), el resto debería ser sencillo.

De hecho, basta con escribir un camino desde $(q, r)$ a $(0, 0)$ y ya está (al menos con esta parte). Eso también debería ayudarte a hacer la segunda parte. ¿Por qué? Porque hay muchos racionales -- 0 no es el único.

Answer 2

Hay varios enfoques posibles al respecto. Como sugirió John Hughes, se podría demostrar la conexión de la trayectoria. Otro enfoque es el siguiente: $A$ es la unión de $$A_q=\{q\}\times\mathbb R\cup\mathbb R\times\{q\}$$ sobre todos los racionales $q\in\mathbb Q$ . Ahora, recuerda lo siguiente:

Teorema. Supongamos que $(X_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ es una familia de conjuntos conexos tal que $X_{\lambda_1}\cap X_{\lambda_2}$ es no vacía para todos los $\lambda_1,\lambda_2$ . Entonces $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda$ está conectado.

De ello se deduce fácilmente que $A_q$ están conectados y que $\bigcup_{q\in\mathbb Q} A_q$ está conectado.

Se puede demostrar la conectividad local utilizando un enfoque similar: primero se observa que la vecindad de cualquier punto contiene un "cuadrado", y luego se demuestra que este "cuadrado" está conectado.