¿Logaritmo se define adecuadamente en un campo?

Question

Dado un campo $(F,+,\times)$, una función exponencial se define como una función $E:F\to F$s.t. $E(x+y)=E(x)E(y)$ y $E(0)=1$ donde $0$ es la identidad aditiva y $1$ es la identidad multiplicativa.

¿Tengo curiosidad como logaritmo está definido correctamente $F$ y cómo se hace la conexión con la función exponencial? ¿Se define como una función s.t. $L:F \to F$ $L(xy)=L(x)+L(y)$ y $L(1) = 0$? Cualquier explicación y referencia es bienvenida. ¡Gracias!

Answer 1

Supongo que la función definida por la ecuación funcional es continuo, de modo que para evitar el "salvaje" de las soluciones. En este caso, a ver cuando podemos definir a la inversa (en logaritmo) de la función, definir: $$ A_0=\{x\in F : E(x)=1\} $$

Ahora podemos demostrar que si $A_0=\{0\}$ que $E(x)$ es invertible.

Demostrar por contraposición:

Si tenemos $x_1,x_2 \in F$ tal que $E(x_1)=E(x_2)$$E(x_1-x_2)=E(x_1)E(-x_2)=E(x_1)E(x_2)^{-1}=E(x_1)E(x_1)^{-1}=1$, lo $x_1-x_2 \in A_0$: contradicción.

En este caso podemos definir una función inversa de la $E$ función de: $$ L=E^{-1}:E(F)\F \quad L(a)=x \quad \mbox{tales que}\quad E(x)=a $$ y podemos demostrar que $L(ab)=L(E(x)E(y))=L(E(x+y))=x+y=L(a)+L(b)$. Este es el caso de la si $F=\mathbb{R}$.

Pero, si no es $x_0\ne0 \in A_0$ que podemos demostrar que $E(x)$ es una función periódica debido a: $E(x+nx_0)=E(x)E(nx_0)=E(x)E(x_0)^n=E(x)\cdot 1^n= E(x)$. Así que la función $E$ no es invertible y si queremos definir un "logaritmo" tenemos que eligió un período que fije un "valor principal" para la función inversa. Este es el caso de la si $F=\mathbb{C}$.