La siguiente propuesta es a partir de la Teoría Algebraica de números por Neukirch (Proposición 1.11, Capítulo 3, pág.191), pero dudo que exat secuencia. Deje $K$ ser un campo de número, $O$ ser el anillo de los números enteros. Y $\mathfrak{p}\mid \infty$ $\mathfrak{p}$ es un infinito lugar.
Deje $\Gamma=\lambda(O^{\star})$ denotar el completo entramado de las unidades de seguimiento de cero en el espacio, $$H=\{(v_{\mathfrak{p}}) \in \prod_{\mathfrak{p}|\infty} \mathbb{R} \mid \sum_{\mathfrak{p}|\infty}{ v_{\mathfrak{p}}}=0 \}.$$ There is an exact sequence $$ 0\rightarrow H/ {\Gamma} \rightarrow CH^{1}(\bar{O})^{0} \rightarrow CH^{1}(O) \rightarrow 0\quad.$$
Deje $Div(\bar{O})$ ser un repleta divisor (Arakelov divisor), $CH^{1}(\bar{O})=Div(\bar{O})/P(\bar{O})$ ser un repleta divisor del grupo de clase. Deje $CH^{1}(\bar{O})^{0}$ ser el núcleo de $\deg: CH^{1}(\bar{O}) \rightarrow \mathbb{R}$, $$\deg(\sum_{\mathfrak{p}}{v_{\mathfrak{p}} \mathfrak{p} })=\log(\prod_{\mathfrak{p}}\mathfrak{N}(\mathfrak{p})^{v_{\mathfrak{p}}}).$$
Mi pregunta viene de la exactitud de $$0\rightarrow H\stackrel{\alpha}{\longrightarrow} Div(\bar{O})^{0} \stackrel{\beta}{\longrightarrow} Div(O)\rightarrow 0,$$ which is crucial in the proof. $\beta$ is the projection map, mapping all the finite place part of $Div(\bar{O})^{0}$ to $Div(O)$. It is surjective. $\alpha$ se define a ser $$\quad \alpha((v_{\mathfrak{p}}))=\sum_{v_{\mathfrak{p}}\mid\infty}{\frac{v_{\mathfrak{p}}}{f_{\mathfrak{p}}} \mathfrak{p}}\quad$$ (donde $f_{\mathfrak{p}}=[K_{\mathfrak{p}}: \mathbb{R}]$, $K_{\mathfrak{p}}$ es la culminación de $K$ con respecto al lugar de $\mathfrak{p}$, en realidad se puede demostrar que: para $\mathfrak{p}\mid \infty$, $f_{\mathfrak{p}}=1$ si $\mathfrak{p}$ es una real incorporación, y $f_{\mathfrak{p}}=2$ si $ \mathfrak{p}$ es un complejo de incrustación).
El punto es que $Ker(\beta)$ es mayor que $Im(\alpha)$. Por ejemplo, uno puede recoger $\mathfrak{p}_{1}$ como un lugar finito con $v_{\mathfrak{p}_{1}}=1$, y algunos infinita lugar $\mathfrak{p}_{2}$, de tal manera que $v_{\mathfrak{p}_{2}}=\log(p^{f_{\mathfrak{p}_{1}}})$. Y todos los otros $v_{\mathfrak{p}}=0$. Esto es en el $Ker(\beta)$, pero no en $Im(\alpha)$!
