Un rectángulo latino equilibrada (más filas que columnas)

Question

En la psicología que a veces uso equilibrado de los cuadrados latinos de orden de nuestro pruebas para contrapeso de primer orden, del efecto (fatiga, el aprendizaje, etc.) .

Para nuestro estudio queremos pretest 12 estímulos (vamos a llamarlos A-F) para ver si son útiles para un estudio posterior. No queremos aburrir a nuestros participantes, por lo que hemos querido darles sólo la mitad de todo el material necesario para la prueba. Estamos indiferente sobre el tamaño del subconjunto de 12 el tiempo es algo entre 4-8 estímulos por participante.

Por una razón diferente (para alcanzar el poder estadístico suficiente) necesitamos al menos 132 participantes (al menos 11 carreras donde cada estímulo que ocurra primero), no queremos superar esta demasiado fuertemente.

Una equilibrada cuadrado latino 6*6 no es demasiado duro para construir. Hay una secuencia de comandos de Matlab así.

A   B   F   C   E   D
B   C   A   D   F   E
C   D   B   E   A   F
D   E   C   F   B   A
E   F   D   A   C   B
F   A   E   B   D   C

Pero también es posible construir una equilibrada (latina) rectángulo (6 columnas de ancho), donde cada letra va seguida de otra letra de la misma cantidad de veces? Cuántas filas (los participantes) sería este rendimiento?

Tal vez alguien con un poco más sobre este problema va a disfrutar del juego!

Lo siento si mi español es muy idiosincrásico, si me pueden aclarar con la correspondiente de la jerga voy a cumplir debidamente, esto es bastante fuera de mi campo.

La división en el medio y, a continuación, añadir el roto órdenes parecía el enfoque equivocado para mí.

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Edit: puedo encontrar uno computacionalmente? No tengo idea de lo ridículo de la pregunta, pero el número total de permutaciones (479 001 600) hace parecer desalentador.

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Edit 2: no quería hacer esta pregunta demasiado acerca de nuestro experimento, pero al parecer eso hizo menos claro. Lo siento. He editado las aclaraciones en la pregunta.

Answer 1

Si entiendo correctamente la pregunta, usted está buscando un $12 \times 6$ latina rectángulo (estrictamente hablando, esta es la transpuesta de una latina rectángulo) en el que cada uno de los 12 símbolos (cada uno representando un estímulo) ocurre exactamente una vez en cada columna (en representación de una ronda de experimentación) y en más de una vez en cada fila (en representación de los participantes). Hay una condición adicional de que la latina rectángulo ser equilibrado (es decir, por cada posible par de símbolos se produce en forma horizontal las células vecinas).

Esto no se puede conseguir ya que no será exactamente 6 copias de cualquier símbolo de la latina rectángulo, pero no será de 11 otros símbolos. Simplemente, no encaja. El más cercano que podía llegar es tomar un equilibrado de los cuadrados latinos y cortarle los últimos 6 columnas (esto probablemente no es adecuado para el experimento).

El próximo paso natural sería modificar el esquema para incorporar más filas (es decir, participantes) y debilitar la "latina" de la propiedad. I. e., varios participantes pueden recibir el mismo estímulo, en el mismo tiempo. En tal esquema modificado, se podría equilibrar el efecto, garantizando que cada par ordenado de símbolos (a,B) aparecen en horizontal de las celdas adyacentes de un número igual de veces (como opuesto a exactamente una vez en la latina plaza de caso). Si nos atenemos a exactamente 6 rondas de pruebas, cada fila contiene exactamente 5 pares ordenados. Por desgracia, hay $12 \times 11=132$ pares ordenados en total (que es coprime con 5), lo que implica que el menor equilibrado esquema requeriría al menos 132 participantes.

Si usted es flexible en el número de rondas, si tenía 7 rondas de pruebas, es probable que va a ser posible encontrar un esquema con sólo 22 participantes (ya que hay 6 pares ordenados por fila, y 132 es divisible por 6). Es decir, parece probable que exista una $22 \times 7$ matriz que contiene los símbolos $1,2,\ldots,12$ que es equilibrada (aunque en realidad la búsqueda de uno puede ser un poco difícil).

Answer 2

No entiendo la pregunta, así que probablemente esto no es una respuesta, pero tal vez ninguna objeción a aclarar la cuestión.

 A B D G K E  
B C E H L F  
C D F I A G  
D E G J B H  
E F H K C I  
F G I L D J  
G H J A E K  
H I K B F L  
I J L C G A  
J K A D H B  
K L B E I C  
L A C F J D  
 

Hay 12 símbolos en 6 columnas, cada símbolo se produce exactamente una vez en cada columna, ningún símbolo aparece dos veces en cualquier fila, ningún símbolo aparece con el mismo símbolo inmediatamente a su derecha más de una vez.

Answer 3

Necesito cambiar sus parámetros un poco, pero parecía que iba a ser flexibles, de modo que permítanme sugerir la siguiente idea.

La idea sólo funciona cuando el número de estímulos es un número primo $p$. Así que si usted necesita para probar exactamente 12 estímulos, entonces esto es inútil, pero puede ser que usted puede dejar uno fuera, o añadir un placebo/null prueba a la mezcla, y el uso de esta idea con $p=11$ o $p=13$.

El esquema ha $p(p-1)$ filas y $k$ columnas, donde $k$ es cualquier número entre el $2$ $p$ incluido.

En lugar de las letras a,B,... yo uso los números de $0,1,\ldots,p-1$ como entradas de la tabla. Una de las construcciones de los cuadrados latinos es el siguiente: Primero, escoja un parámetro de $m$ que es un número entero en el rango de $1\le m<p$. A continuación, poner en fila $i$% y la columna $j$% el número que es igual al resto de $i+mj$ cuando se divide por $p$. Esto nos da un $p\times p$ cuadrado latino. Llamarlo $L(m,p)$. En este cuadrado latino de todos los pares de entradas consecutivos en todas las filas difieren por $m$. Por lo tanto, esta plaza es la antítesis de equilibrado. Dentro de esta plaza un cero es siempre seguido por una $m$, $m+1$ et cetera. Tenga en cuenta que contamos cíclicamente $\pmod p$, por lo que una entrada $p-m$ siempre es seguida por $(p-m)+m=p\equiv 0$, y así sucesivamente.

Aquí viene el truco. Construimos una tabla más grande con $p(p-1)$ filas poniendo todos los cuadrados latinos $L(1,p)$, $L(2,p)$, $\ldots$, $L(p-1,p)$ en la parte superior de uno al otro. Mediante el uso de todos los posibles valores de $m$ obtenemos un equilibrado de la tabla en la final!

Podemos tomar la $k$ primeras columnas de esta tabla grande, y puede hacerse con él. Cada entrada se produce en todas las columnas exactamente $p-1$ veces. Si dos entradas, decir $a$$b$, se diferencian por $m=b-a$, el par $(a,b)$ aparece en las filas de $L(m,p)$ exactamente $k-1$ veces - una vez por cada par de columnas adyacentes, y no aparece en ninguna de las otras filas. No hay repeticiones de los estímulos dentro de las filas, las filas son las partes de las filas de un cuadrado latino.

¿Por qué no funciona con el $p=12$? IOW, ¿por qué insisto en que $p$ debe ser una de las primeras? La razón es que la fórmula $i+m*j \bmod p$ da un cuadrado latino solo, cuando $m$ es coprime a $p$. Por ejemplo, si $p=12$$m=6$, entonces las filas de $L(6,12)$ aspecto 0,6,0,6,...; 1,7,1,7,...

Con $p=13$ usted obtener 156 filas, por lo que la tabla puede ser demasiado grande para usted. Otro posiblemente preocupante característica de esta construcción es la siguiente. Las filas de la latina, plaza de la $L(1,p)$ aspecto 0,1,2,...; 1,2,3,...; por lo que tienen intersecciones de $k-1$ elementos. Esto puede ser malo para la eliminación de secundaria correlaciones de la prueba. Si no $k=6$ pruebas por participante, a continuación, cinco de los participantes se vea estímulo #1 seguido por estímulo de #2. Eso está bien, pero estoy un poco preocupado por el hecho de que cuatro de los cinco verá estímulo #3 siguiente. Y la quinta persona que no ve nada, porque su día termina después del estímulo #2. Patrones similares aparecen en otros componentes plazas $L(m,p)$. Si estas deficiencias hacen que la construcción inservible, entonces me disculpo por perder su tiempo.

[Edit: Oh, muchacho, que debo aprender a corregir y no después de tanta prisa. Me disculpo por la mayoría ilegible primera versión :-(]