Una pregunta acerca de los elementos principales en dominios de integridad

Question

Tengo que mostrar lo siguiente:

Deje $p \in R\setminus\{0\}$: $p$ es el primer elemento en $R$ si y sólo si $(p)$ es un alojamiento ideal en $R$.

Tengo verdaderos problemas para hacerlo. He intentado lo siguiente:

$\Rightarrow$ deje $p$ ser un primer elemento en $R$, entonces sabemos que si $p \mid ab$ $p\mid a$ o $p\mid b$. También, sabemos que $$(p) = Rp = \{ rp \mid r \in R\},$$ then we know that $(p)$ is prime ideal because $rp \(p) \Rightarrow p \(p)$.

Ahora, ¿cómo puedo demostrar que $(p)\neq R$. También, el último paso se siente extraño, como esto parece implicar que $(a)$ es el primer ideal para cualquier $a\in R$ si $(a) \neq R$?

con la $\Leftarrow$ dirección no sé cómo empezar, podrían darme alguna pista?

Gracias!

Answer 1

Su argumento en la $\Rightarrow$ dirección es incorrecta.

Se asume que el $p$ es un primer elemento. Eso significa que $p$ no es una unidad, y si $p|ab$$R$, $p|a$ o $p|b$.

Lo que hay que mostrar es que el $(p)$ es un alojamiento ideal; es decir, que si $ab\in (p)$, entonces cualquiera de las $a\in (p)$ o $b\in (p)$.

Ahora, si $ab\in (p) = \{ rp\mid r\in R\}$, entonces no existe $r\in R$ tal que $rp = ab$. Eso significa que $p|ab$. Desde $p$ es un primer elemento, entonces...

Y si $(p)=R$,$1\in (p)$. Por lo tanto...

Para $\Leftarrow$: Supongamos que $(p)$ es un alojamiento ideal; a continuación,$(p)\neq R$, y si $ab\in (p)$, $a\in (p)$ o $b\in (p)$. A continuación, $p$ no es una unidad, porque si $p$ es una unidad, entonces la $(p)$ ...

Y por último, supongamos $p|ab$. Entonces existe $r\in R$ tal que $pr=ab$. Por lo tanto, $ab\in (p)$. Desde $(p)$ es un alojamiento ideal, entonces...

Answer 2

Aquí están algunos hechos a tener en cuenta.

• $a\in (p)$ si y sólo si $p\mid a$. (Intenta demostrar esto por su cuenta, como es el hecho clave para este problema, y además no es demasiado difícil.)

• $(a)=R$ si y sólo si $a$ es una unidad en $R$. Tratamos de probar esto por su cuenta, pero a continuación es una explicación si usted no puede conseguir.

Esto es debido a que, si $a$ es una unidad, por ejemplo, con inverso $v$, luego
$$(a)=\{ra\mid r\in R\}\supseteq\{rva\mid r\in R\}=\{r\mid r\in R\}=R$$ y, por tanto,$(a)=R$; por el contrario, si $(a)=R$,$1\in (a)=\{ra\mid r\in R\}$, por lo que hay algunos $r\in R$ tal que $1=ra$, por lo tanto $a$ es una unidad.

• Ideal $I\subseteq R$ es un primer ideal, por definición, si

  • $I\neq R$, y
  • $ab\in I$ implica que cualquiera de las $a\in I$ o $b\in I$.

• Un elemento $p\in R$ es un primer elemento, por definición, si

  • $p\neq0$,
  • $p$ no es una unidad,
  • $p\mid ab$ implica que cualquiera de las $p\mid a$ o $p\mid b$.

Answer 3

SUGERENCIA% $\ $utilizan el hecho de que contiene es equivalente a las divisiones de ideales principales. Por lo tanto

$\rm\qquad (p)\supseteq (ab)\iff (p)\supseteq (a)\:\ or\:\ (p)\supseteq (b)\ $ es equivalente a $\rm\ p\ |\ ab\iff p\ |\ a\:\ or\:\ p\ |\ b$

Alternativamente, si se sabe que$\rm\:P\:$ es primo$\rm\iff R/pR\:$ es un dominio, entonces puede usar

$\: $ Nonunit$\rm\ p\:$ prime$\rm\iff [\:p\ |\ a\:b\:\Rightarrow p\:|\:a\ or\ p\:|\:b\:]$ $\rm\iff \rm R/p\:R\:$ un dominio$\iff$ $\rm\:p\:R\:$ prime