Qué funciones son soporte de conjuntos convexos

Question

Dado un conjunto cerrado, convexo y no vacío $K\subseteq\mathbb{R}^n$ la función de apoyo $h_K:\mathbb{R}^n\to (-\infty,\infty]$ se define como $$h_K(y) := \sup_{x\in K} \langle x,y\rangle$$

Es fácil ver que $h_K$ es convexo, $\mathbb{R}_{\geq 0}$ -homogéneo y que todos los conjuntos de subniveles $\{y \mid h_K(y)\leq C\}$ están cerrados (en otras palabras: $h_K$ es semicontinuo inferior). Tengo varias preguntas que no he podido responder satisfactoriamente a través de google. Tened en cuenta que me interesa el caso de la generalidad de $K$ no sólo los compactos.

1. ¿Caracterizan estas propiedades a las funciones de apoyo? Hay una forma obvia de definir un conjunto convexo dada dicha función $h$ al establecer $K:=\{x \mid \forall y: \langle x,y\rangle \leq h(y)\}$ y obviamente $h_K\leq h$ pero no puedo demostrar la igualdad.
2. ¿Existe una descripción de $h_{K_1\cap K_2}$ en términos de $h_{K_1}$ y $h_{K_2}$ de forma similar a las descripciones $h_{K_1+K_2} = h_{K_1}+h_{K_2}$ , $h_{conv(K_1\cup K_2)} = \max\{h_{K_1},h_{K_2}\}$ ? Creo que algo como $h_{K_1\cap K_2} = \sup\{h \leq \min\{h_{K_1},h_{K_2}\} \mid h \,\text{convex}\}$ podría ser cierto, pero no puedo probarlo.

Answer 1

1. Sí, es cierto. Esto puede derivarse de la propiedad involutiva de la transformada de Legendre-Fenchel: si $f:\mathbb R^n\to (-\infty,+\infty]$ es una función convexa cerrada, entonces $f^{**}=f$ (Teorema 12.2 de la obra de Rockafellar Análisis convexo ). Recordemos que $$f^*(x) = \sup\{\langle x,y\rangle - f(y) : y\in\mathbb R^n\}$$ y una función convexa es cerrada si su epígrafe lo es.

Con cada conjunto cerrado convexo $K$ podemos asociar una función convexa cerrada $\delta_K$ dejando $\delta_K(x)=0$ cuando $x\in K$ y $\delta_K(x)=+\infty$ de lo contrario. Obsérvese que $\delta_K^*$ es exactamente $h_K$ .

Dado $h$ como en su pregunta, definir $K= \{x : \langle x,y\rangle \le h(y) \ \forall y\}$ . Observe que $h^*(x)=0$ cuando $x\in K$ porque el supremum se alcanza con $y=0$ . Si $x\notin K$ , entonces hay $y$ tal que $\langle x,y\rangle > h(y)$ . Considerando grandes múltiplos de tales $y$ concluimos que $h^*(x)=\infty$ .

Así, $h^* = \delta_K$ . Por la propiedad involutiva, $h=h^{**} = \delta_K^* = h_K$ .

Por cierto, este resultado es el teorema 13.2 del libro de Rockafellar.

2. Sí, esto es correcto. Otra forma de exponer este hecho: el epígrafe de $h_{K_1\cap K_2}$ es el casco convexo de $\operatorname{epi} h_{K_1} \cup \operatorname{epi} h_{K_2}$ . Para ver esto, observe que el epígrafe de $h_K$ se determina por su intersección con el plano horizontal $z=1$ . Esta intersección no es más que $K^\circ$ el polar de $K$ . Queda por utilizar el hecho de que $(K_1\cap K_2)^\circ = \operatorname{conv}(K_1^\circ \cup K_2^\circ)$ . Véase también el corolario 16.5.1 del libro de Rockafellar.