¿Cómo puedo encontrar la superficie de un huevo de gallina normal?

Question

Esta mañana, he desayunado huevos, y mientras miraba los trozos de cáscaras rotas, he pensado: "¿Cuál es la superficie de este huevo?". El problema es que no tengo ni idea de cómo encontrar la superficie.

He aprendido las fórmulas para los círculos, y conozco la ecuación de una elipse; sin embargo, no sé cómo aplicarla.

La única idea que se me ocurre es poner un huevo en una hoja de papel y trazarlo, y luego medir el contorno dibujado, y luego tratar de encontrar una ecuación para esa elipse y girar eso alrededor del $x$ -eje. Ahora, mi problema es cómo puedo encontrar la ecuación de la elipse a partir de la gráfica, y ¿mi método de trazado será realmente el borde del huevo? Además, ¿puedo utilizar el superficie estándar integral ? ¿Tendré que utilizar algunas técnicas para resolver la integral que no están contempladas en el Cálculo AP BC ?

Tiene que haber un método mejor para encontrar la superficie. Por favor, ayúdenme a entender cómo encontrar la superficie de un huevo; es decir, cómo utilizar mis conocimientos matemáticos para algo más que para aprobar exámenes.

Answer 1

Existe una bonita ecuación que describe la ecuación de una curva de huevo crédito a Nobuo Yamamoto : $$ (x^2+y^2)^2 = ax^3 + \frac{3a}{10}xy^2, \tag{1} $$ donde $0\leq x\leq a$ , $a$ es la longitud del eje mayor de simetría de un huevo.

En otras palabras, podríamos obtenerlo cortando un huevo cocido por la mitad y midiendo la distancia desde la punta hasta el fondo. Acabo de dibujarlo en MATLAB, y la curva tiene el siguiente aspecto para $a=1$ :

Debo decir que esta curva se ajusta bastante bien a un huevo. Ahora tenemos una curva, entonces el método de cálculo de la superficie por revolución que se enseña en Cálculo II, creo, puede utilizarse para calcular la superficie. Simplemente giramos la curva de arriba alrededor del eje mayor de simetría del huevo y obtenemos una superficie, aquí está lo que parece cuando la giramos alrededor del $x$ -eje por grado $\pi$ , podemos obtener la mitad inferior girando otra $\pi$ :

Primero resolvemos para $y$ en (1) cuando $y>0$ : $$ y = \sqrt{\frac{3ax}{20} - x^2 + x\sqrt{\frac{7ax}{10} + \frac{9a^2}{400}} }, $$ La fórmula para calcular la superficie por revolución es: $$ S = 2\pi\int_0^a y\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \,dx,\tag{2} $$ El derivado es: \begin {align} \frac {dy}{dx} = \frac {1}{2 \sqrt { \frac {3ax}{20} - x^2 + x \sqrt { \frac {7ax}{10} + \frac {9a^2}{400}} }} \left ( \frac {3a}{20}- 2x+ \sqrt { \frac {7ax}{10} + \frac {9a^2}{400}} + \frac {7ax}{20 \sqrt { \frac {7ax}{10} + \frac {9a^2}{400}}} \right ), \end {align} Enchufando $dy/dx$ y $y$ en (2), entonces podrías utilizar tu herramienta favorita de integración numérica para realizar el cálculo por ti (Octave, MATLAB, Mathematica, etc).

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Un enfoque más ajustable/numérico/experimental :

Como sugiere Ｊ. M. sugiere en los comentarios, la forma parece un huevo, pero ¿se aproxima bien un huevo real con esta curva? Supongo que la respuesta es que "depende de ese huevo en concreto".

Digamos que todavía queremos utilizar la superficie de revolución para calcular la superficie.

Pero esta vez, lo manejamos más numéricamente desde el principio, en lugar de buscar una curva que se ajuste a una cosa para todos.

Dos supuestos:

• Todos los huevos tienen simetría axial con respecto a su eje mayor, es decir, si $x$ -es su eje mayor, su superficie puede obtenerse girando una curva $y= f(x)$ , para $0\leq x\leq a$ .
• Esa curva $y = f(x)$ tiene cierta suavidad: $f$ y $f'$ son continuos para $x\in (0,a)$ .

Ahora queremos calcular la integral (2) utilizando La regla de Simpson o Regla trapezoidal que también se enseña en Cálculo II en la mayoría de las universidades, creo. Una observación es que $|f'|\to \infty$ cuando $x\to 0$ y $x\to a$ sería mucho mejor si utilizamos qudratura adaptativa poniendo más puntos de muestra cerca de $0$ y $a$ .

Los pasos son:

1. Hierve un huevo, córtalo por la mitad, sujétalo contra un papel, usa un lápiz para delinear su límite (la mitad superior es suficiente).

2. Dibujar el eje mayor, establecer que sea el $x$ -eje, y medir su longitud $a$ .

3. Elija $(n+1)$ -Muestra los puntos (incluyendo los puntos finales) de manera que los puntos sean equidistantes a su vecino en la curva. $n$ se elige que sea par, medir la distancia al eje mayor ( $y$ -coordenadas) como en la figura anterior.

4. Denotemos el punto de muestreo como $(x_i,y_i)$ , $x_0=0$ , $x_n = a$ .

5. Aproximadamente $$\frac{dy}{dx}\Big|_{x_i} \approx s_i = \frac{1}{2}\left( \frac{y_{i+1} - y_i}{x_{i+1} - x_i} + \frac{y_{i} - y_{i-1}}{x_{i} - x_{i-1}} \right).$$ Para dos puntos finales: $$ s_0 = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0},\quad \text{ and }\quad s_n = \frac{y_n- y_{n-1}}{x_n - x_{n-1}}. $$ Este paso puede ser problemático, podemos utilizar otros métodos para aproximar $dy/dx$ por ejemplo, aproximando la curva mediante un spline cúbico utilizando puntos de muestra $(x_i,y_i)$ pero estaría más allá del contenido del cálculo universitario.

6. Dejemos que $h = x_{i+1} - x_i = a/n$ , aproxima (2) calculando: $$ \frac{2\pi h}{3}\bigg[g(x_0)+2\sum_{j=1}^{n/2-1}g(x_{2j})+ 4\sum_{j=1}^{n/2}g(x_{2j-1})+g(x_n) \bigg], \quad \text{ where } g(x_i) = y_i \sqrt{1+s_i^2}. $$

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Algunas comparaciones de resultados :

Amzoti dio un enlace en sus comentarios anteriores que tiene dos fórmulas semi-empíricas: $$ S_1 = (3.155 − 0.0136a + 0.0115b)ab, \;\text{ and }\;S_2 = \left(0.9658\frac{b}{a}+2.1378\right)ab $$ donde $a$ y $b$ son las longitudes de los ejes mayor y menor de los huevos reales. Si existe una forma de huevo como (1), $a = 1$ y $b\approx 0.7242629$ la superficie calculada por la fórmula anterior es: $$ S_1 \approx 2.278215 \;\text{ and }\;S_2 \approx 2.054946. $$ Utilizando la fórmula de la superficie por revolución (2), tenemos: $$ S \approx 2.042087. $$

Answer 2

Hagamos un problema un poco más interesante generalizándolo. Tengo un objeto convexo arbitrario y quiero encontrar su superficie. De las respuestas publicadas hasta ahora, sólo la estrategia de triangulación de Zach L. y Cong Xu funciona en este caso sin romper el objeto en trozos pequeños. Aquí hay otro enfoque.

Supongamos que se proyecta el objeto en un plano orientado al azar, es decir un plano cuya normal se elige uniformemente de la esfera unitaria. Dado que el objeto es convexo, el valor esperado del área proyectada es exactamente $1/4$ veces la superficie del objeto, para esencialmente la misma razones dadas por Christian Blatter para el caso del 2D . (Versión corta: cada elemento de superficie diferencial $dA$ contribuye por término medio $dA/4$ al área proyectada; su orientación no importa porque estamos promediando sobre todas las posibles direcciones de proyección; no hay doble conteo porque el objeto es convexo). Esto sugiere inmediatamente un algoritmo de Montecarlo:

1. Rota el objeto en una orientación aleatoria.
2. Dirigir la luz colimada hacia el objeto ( Por ejemplo del sol, o de una combinación de luz puntual/espejo parabólico) y observar su sombra en un plano perpendicular a la dirección de la luz.
3. Registra el área de la sombra. Tal vez tengas papel cuadriculado pegado en el plano, o tal vez hagas una foto con una cámara calibrada, binarices la imagen y cuentes el número de píxeles negros.
4. Repite muchas, muchas, muchas veces.

El área media de la sombra, multiplicada por $4$ es la superficie del objeto.

Answer 3

Utilice cualquier método conveniente para determinar el volumen de todo el huevo.

Sacar el contenido del huevo a través de un pequeño agujero sin dañar la cáscara. (Los recolectores de huevos tienen varias técnicas).

Llenar la cáscara de huevo con agua para determinar el volumen de la dentro de del huevo.

La diferencia de estas dos medidas es el volumen de la cáscara del huevo.

Romper la cáscara del huevo y medir el grosor. $$\frac{\text{∆ Volume}}{\text{Thickness}}=\text{Area}$$

Answer 4

Consigue uno de estas cosas :

Cárgalo en tu programa de modelado 3D favorito y deja que calcule la superficie por ti:

Answer 5

Aquí hay una toma:

Coloca puntos en el huevo, bastante juntos, y conéctalos para formar "triángulos" en el huevo. Mide las distancias entre los puntos del triángulo y calcula el área como si fuera un triángulo euclidiano. Hazlo con varios huevos, quizás dividiendo por el cuadrado de la longitud a lo largo de un eje para normalizarlo. A continuación, repite el proceso con triángulos cada vez más pequeños, hasta que (¡esperemos!) los números coincidan más o menos con algún decimal de precisión.