La forma habitual de definir el "tamaño" de un conjunto infinito es a través de la cardinalidad, de modo que por ejemplo, los conjuntos $\{1, 2, 3, 4, \ldots\}$ y $\{0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}$ tienen la misma cardinalidad. Sin embargo, ¿es esta la única forma de definir un "tamaño" útil de un conjunto infinito? ¿Se podría concebir una "tamaño" donde los dos conjuntos de ejemplo tengan tamaños diferentes?
Respuesta
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La pregunta es qué quieres capturar en la noción de cardinalidad y cuáles son tus ajustes.
Por ejemplo, si solo te importan subconjuntos de los números naturales, puedes decir que $A$ tiene una cardinalidad mayor que $B$ si $A$ es estrictamente mayor que $B$ o si el complemento de $A$ es estrictamente más pequeño.
En este sentido, $|\{0,1,2,\ldots\}|$ es mayor que $|\{1,2,3,4\ldots\}|$, ya que el primero lo abarca todo mientras que el segundo tiene un complemento no vacío (a saber, $\{0\}$). Esta noción no es un orden lineal, lo cual puede parecer un poco malo, pero, de nuevo, sin el axioma de elección, las cardinalidades no están linealmente ordenadas de todos modos.
Otro ejemplo es si fijas para cada conjunto $A$ un orden lineal $\leq_A$. Ahora decimos que $|A|\leq|B|$ si y solo si $(A,\leq_A)$ está incrustado en $(B,\leq_B)$. Esta noción de tamaño también es agradable y tiene el beneficio de que $\mathbb N$ es estrictamente más pequeño que $\mathbb Z$ y ambos son más pequeños que $\mathbb Q$ (como tipos de orden, por supuesto).
Por otro lado, esta noción de cardinalidad carece de la propiedad de Cantor-Bernstein, es decir, la antisimetría: el tipo de orden de $\mathbb Q\cap[0,1]$ y el de $\mathbb Q\cap(0,1)$ no son iguales, pero uno se incrusta en el otro.
Esto también es un poco malo, pero hay un orden natural en cardinales que también carece de esta propiedad sin el axioma de elección: $|A|\leq^\ast|B|$ si y solo si $A=\varnothing$ o existe una sobreyección $f\colon B\to A$. Sin el axioma de elección, es consistente que haya dos conjuntos que puedan ser mapeados uno al otro, pero no biyectivamente.
Lo anterior se puede generalizar a cualquier forma de estructura. Simplemente fija para cada conjunto en el universo algún tipo de estructura y considera la incrustación como un orden natural. Sin embargo, en muchos casos se pierde algo en el sentido de que esto ya no actúa como esperaríamos de la cardinalidad. O tal vez estamos esperando cosas equivocadas...
Lecturas adicionales:
