Probar o refutar que${F_{n}}^2 + 41$ es siempre un material compuesto

Question

El problema:

Probar o refutar: Si$F_{n}$ es el$n^{th}$ del número de Fibonacci continuación$${F_{n}}^2 + 41$ $ es siempre un número compuesto.

Parece que si$n$ no es múltiplo de 12,${F_{n}}^2 + 41$ es divisible por$2$,$3$ o$5$. Si$n$ es múltiplo de 12, sin embargo, algunas interesantes, inusuales, aparecen casos:

$${F_{12}}^2 + 41 = 79 \times 263$ $

$ ${F_{72}}^2 + 41 = 9749 \times 25485321772339055988195013$ $

$ ${F_{108}}^2 + 41 = 5119 \times 1317671 \times 41055200011068517359399666969411793$ $

$ ${F_{204}}^2 + 41 = 5 \times 6400350375910983011604271319374598934759558555511500080780194261$$

Using PrimeQ[], Mathematica says that $ {F_ {n}} ^ 2 41 $ is composite for $ n <10000$.

This is related to this and this question.

My intuitive feeling is that for some large $ n$, $ {F_ {n}} ^ 2 41 $ es primo.

Answer 1

Tan pronto como me envió la pregunta, Mathematica informó que hay un caso de$n$ entre$10000$ y$20000$, donde la expresión en cuestión es primo!

El caso es$n=12588$.

¡Eso es genial! Esto puede servir como un ejemplo del mundo real educativa que no es suficiente para comprobar primeros 10000 casos. Es por eso que no voy a borrar esta pregunta y respuesta, aunque el suspenso duró sólo unos minutos ...