Derivado covariante del campo vectorial a lo largo de sí mismo: $ \nabla_X X$

Question

Considere un campo vectorial $X$ en un suave colector pseudo-renacentista $M$ . Deje que $ \nabla $ denotan la conexión Levi-Civita de $M$ .

¿En qué condiciones se puede decir algo interesante sobre el derivado covariante de $X$ a lo largo de sí mismo, es decir. $ \nabla_X X$ ?

Answer 1

Como dice Mike Miller, los campos vectoriales con $ \nabla_XX =0$ son muy especiales. Para un campo vectorial así, cada curva integral es una geodésica. En el plano, por ejemplo, ¿cómo es un campo vectorial de este tipo? El dirección del campo vectorial tiene que ser constante, y la magnitud sólo puede cambiar en la dirección perpendicular a $X$ . En otras palabras, $X$ se ve como un montón de rayas paralelas, cada una de las cuales tiene una magnitud constante, como $X(x,y) = (y^2,0).$

Hay varias interpretaciones físicas intuitivas de $X$ :

1. Considere el caso en el que usted está en un submanifold de $ \mathbb {R}^3$ . Poner una partícula en un punto $p$ en el colector y darle la velocidad inicial $X(p)$ . Deje que la partícula viaje inercialmente sobre el colector, obligándola a permanecer en el colector y no a "despegar" hacia el espacio ambiente, es decir, en cada momento, aplique la suficiente aceleración en la dirección normal al colector para mantener la velocidad de la partícula tangente al colector. (Piense en un rodamiento de bolas magnéticas, rodando sobre una lámina de acero con la forma de su colector). Entonces la partícula viajará a lo largo de curvas integrales de $X$ que es su velocidad en cualquier momento $t$ será $X(p(t))$ .

2. Cubrir el colector con fluido (infinitamente comprimible), y dar al fluido la velocidad inicial $X$ . Ahora permite que el fluido fluya por cualquier cantidad de tiempo $t$ sin que ninguna fuerza actúe sobre ella. La velocidad del fluido en el tiempo $t$ se verá exactamente igual que en el tiempo $0$ , $X(t)=X$ .

Cuando $ \nabla_XX \neq 0$ la derivada covariante te da la falla, en ese punto, del campo vectorial para tener curvas integrales geodésicas; en la interpretación #1 arriba, por ejemplo, es la fuerza tangencial que debes aplicar a la partícula para hacerla seguir el campo vectorial con velocidad $X(p(t))$ . En la interpretación #2, te da la derivada temporal negativa de la velocidad del fluido en un punto dado (la aceleración que sienten las partículas del fluido en ese punto).