Hace poco demostré que
$$\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\sum_{k=1}^n k \right)^2$$
utilizando la inducción matemática. Me interesa si hay una explicación intuitiva, o incluso una interpretación combinatoria de esta propiedad. También me gustaría ver cualquier otra prueba.
Observe la siguiente imagen, tomada de este Respuesta de MO lo suficiente:
El hecho de que haya $k$ bloques (o $\frac{1}{2}+k{-}1+\frac{1}{2}$ bloques) de $k\times k$ tamaño se basa en el hecho de que $\sum\limits_{j=1}^{k-1}=k(k{-}1)/2$ . Es decir, $(k{-}1)/2$ bloques en la parte superior $(k{-}1)/2$ a la izquierda y $1$ bloque en la esquina (totalizando $k$ ). Tal vez esté siendo quisquilloso o lento, pero no veo que esto sea obvio en la imagen. Más allá de eso, es una bonita prueba sin palabras.
He puesto los detalles de la prueba correspondiente a esta imagen en esta respuesta ya que el área de comentarios era demasiado pequeña.
No sé si esto es intuitivo, pero es gráfico.
En el borde exterior de cada $(k{+}1){\times}k$ bloque hay $k$ pares de productos, cada uno de los cuales suma $k^2$ . Así, el borde exterior suma $k^3$ y la suma de todo el conjunto es por tanto $\sum\limits_{k=1}^n k^3$ .
La matriz es el producto matricial $$ \left[\begin{array}{r}0\\1\\2\\\vdots\\n\end{array}\right]\bullet\left[\begin{array}{rrrrr}1&2&3&\cdots&n\end{array}\right] $$ Por lo tanto, la suma de los elementos de la matriz es $\sum\limits_{k=0}^nk\;\sum\limits_{k=1}^nk=\left(\sum\limits_{k=1}^nk\right)^2$ .
Por lo tanto, $\sum\limits_{k=1}^n k^3=\left(\sum\limits_{k=1}^nk\right)^2$
Si nos olvidamos de la primera línea de la matriz (que es cero y que sólo sirve para hacer parejas con los coeficientes de la diagonal), entonces me gusta que podamos poner esta respuesta en paralelo con los rectángulos coloreados de arriba y de abajo, y obtenemos otra partición de cada área coloreada (cada coeficiente de la matriz da un rectángulo de un área determinada), lo que explica que cada área en forma de L sea $k^3$ .
Sin embargo, cada coeficiente en forma de L tiene el mismo factor $k$ , lo que significa que demuestra que "cada área en forma de L es $k^3$ " por la misma prueba que $2 \times \sum_{j=0}^k j = (0+k) + (1+k-1) + ... + (k-1+1) + (k+0) = (k+1) \times k$ , lo que hace que esté muy cerca de los rectángulos coloreados de arriba y de abajo.
¿Puedes obtener la explicación de la intuición a partir de las dos imágenes siguientes?[EDIT: lo siguiente es esencialmente lo mismo que la respuesta de Mariano. Sin embargo, no mencionó la primera imagen].
Las imágenes son de Brian R Sears .
Hay esta bonita imagen de la entrada de Wikipedia sobre el número triangular al cuadrado :
El lado izquierdo muestra que $1 + 2 + 3$ forma un triángulo y al cuadrarlo se obtiene un triángulo mayor formado por $1+2+3$ copias del triángulo original. El lado derecho tiene $1(1^2) + 2(2^2) + 3(3^2) = 1^3 + 2^3 + 3^3$ . La coloración muestra por qué los dos lados son iguales.
En la página de Wikipedia hay otras referencias sobre pruebas combinatorias y argumentos geométricos.
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math.stackexchange.com/questions/61798/
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Mira esto takayaiwamoto.com/Sumas_y_Series/sumcube_1.html
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Ver math.stackexchange.com/questions/120674 para las observaciones sobre las pruebas "que no utilizan la inducción".
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He fusionado los tres posts existentes que cubrían exactamente esta cuestión, ya que cada post tenía diferentes respuestas interesantes que no debían perderse. También he eliminado los comentarios redundantes, y los comentarios sobre el cierre de los posts como duplicados. Este cuarta pregunta no se considera un duplicado.
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Como esta pregunta se hace con frecuencia, se ha añadido a la sección lista de generalizaciones de preguntas comunes. Se ha mantenido separada de la versión que sí utiliza la inducción.
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Conozco ambas fórmulas. Nunca me había dado cuenta de que una era el cuadrado de la otra... Gracias por hacer la pregunta.
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Wikipedia llama a esto Teorema de Nicómaco (de Nicómaco de Gerasa (que también se menciona en algunas respuestas más abajo). En Wikipedia, ver también La fórmula de Faulhaber .