Integral Definitiva que evalúa a las iniciales del maestro: TAA

Question

El cumpleaños del profesor de cálculo de mi escuela es en un par de días, y nuestra clase decidió darle una tarjeta de cumpleaños sorpresa que tiene una integral definida que evalúa a sus iniciales (TAA). Hasta ahora todo lo que podemos pensar son integrales fáciles, y estamos perplejos incluso cuando probamos unas que evalúan a $TA^{2}$ (perdón por mi falta de conocimiento de la tipografía matemática en este sitio). Es un gran profesor y significaría mucho si alguien pudiera ayudar a encontrar una integral así. Si es posible, por favor mantenga la dificultad a un nivel moderado como la integración por partes dos veces o fracciones parciales como un nivel de dificultad relativamente difícil para que no tome mucho tiempo para resolverlo. Cualquier ayuda es muy apreciada. (PD: Soy relativamente nuevo en este sitio así que mis disculpas si rompí radicalmente la etiqueta aquí.)

Answer 1

El círculo de radio $\sqrt{\frac{T}{\pi}}A$ tiene área $TA^2$ . Este círculo puede describirse mediante la ecuación $x^2 + y^2 = \frac{T}{\pi}A^2$ por lo que el semicírculo superior está descrito por la función $y = \sqrt{\frac{T}{\pi}A^2 - x^2}$ . Por lo tanto, $$4\int_0^{\sqrt{\frac{T}{\pi}}A}\sqrt{\frac{T}{\pi}A^2 - x^2} dx = TA^2.$$

Una versión más artística del mismo concepto podría ser colorear un círculo y simplemente indicar en su dibujo que el radio es $\sqrt{\frac{T}{\pi}}A$ . De esta manera, toda la clase puede mirarlo hasta que haga el cálculo obvio. Esto también evita el hecho bastante desafortunado de que mi integral tiene la cadena " $TA^2$ " ahí mismo en el integrando.