¿Cómo puedo demostrar que para todos $n \in \mathbb{N}$ ; $$\sum_{d \mid n} \mu(d)\sigma(n/d) = n$$ Dónde $\sigma$ es el función de divisor y $\mu$ es el Función Möbius .
Estoy confundido porque no es $\sum_{d \mid n}\mu(d)= 1$ si $n=1$ y 0 en caso contrario?
Las funciones de las que se halla la convolución son multiplicativo . Así que su convolución es.
Por lo tanto, sólo hay que verificar la igualdad para las potencias primos, y el resultado se seguirá para todos $n$ .
Si un número $k$ es divisible por un cuadrado mayor que $1$ entonces $\mu(k)=0$ . Así que para las potencias primos la suma es fácil de calcular.
Observación: Si $m$ es el producto de $d$ primos distintos, entonces $\mu(m)=(-1)^d$ . Si $m$ es divisible por un cuadrado $\gt 1$ entonces $\mu(m)=0$ . Para más detalles, busca en Google la función Möbius.
$$\sum_{d \mid n} d = \sigma(n)$$ y así por el Fórmula de inversión de Möbius tenemos que
$$\sum_{d \mid n} \mu(d) \sigma\left(\frac{n}{d}\right) = n$$
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