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Question

Problema:

$f(x) =ax^6 +bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+gx+h$

Teniendo en cuenta que: $f(1)= 1, f(2) =2 , f(3) = 3, f(4) =4, f(5)=5, f(6) =6$

encontrar $f(7) =?$

Mi enfoque:

Podemos poner los valores de $f(1) = 1$ en la ecuación dada y $f(2) = 2$, etcetera. Pero esto es muy lento haciendo seis ecuaciones diferentes y luego resolver para obtener los valores de $a,b,c,d,e,g,h$. Por favor sugerir alguna solución alternativa para esto.

Answer 1

Ya que $f(x) - x$ es un polinomio de grado $6$ tiene $6$raíces $1, 2, 3, 4, 5, 6$ por condición, podemos factorizar $f(x) - x$: $$f(x) - x = C(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6).$ $ enchufe $x = 0$ en la expresión anterior, tenemos $3 - 0 = C\times 6!$, por lo tanto, $C = \dfrac{3}{6!}$. Por lo tanto, $$f(7) = 7 + (f(7) - 7) = 7 + \frac{3}{6!}(7 - 1)(7 - 2)(7 - 3)(7 - 4)(7 -5 )(7 - 6) = 7 + \frac{3}{6!}\times 6! = 10.$ $

Answer 2

Para un método que es intermedia en la inteligencia entre la dada por las otras respuestas y sólo resolver el sistema de ecuaciones simultáneas, puede utilizar las sucesivas diferencias. Escribimos la siguiente tabla:

$$ \begin{array}{ccccccccccccccc} h & & 1 & & 2 & & 3 & & 4 & & 5 & & 6 & & x_6 \\ & 1-h & & 1 & & 1 & & 1 & & 1 & & 1 & & x_5 \\ && h && 0 && 0 && 0 && 0 && x_4 \\ &&& -h && 0 && 0 && 0 && x_3 \\ &&&& h && 0 && 0 && x_2 \\ &&&&& -h && 0 && x_1 \\ &&&&&& h && x_0 \end{array}$$ donde cada número es la diferencia de los dos directamente por encima de él. Cada fila de esta tabla representa un polinomio cuyo grado es uno de los más bajos de la fila por encima de él; desde que empezamos con un grado-6 polinomio, la fila inferior es constante, y por lo $x_0=h$. Nuestra forma de trabajo copia de seguridad de la tabla, entonces tenemos $$ x_1=0+x_0=h\\ x_2=0+x_1=h\\ x_3=0+x_2=h\\ x_4=0+x_3=h\\ x_5=1+x_4=h+1\\ x_6=6+x_5=h+7 $$ y por lo $f(7)=h+7$.

Answer 3

Solución para gente perezosa.

Si f(0) fuera 0, entonces la respuesta sería 7, porque 7 puntos de fijación conduce a una solución única y f (x) = x es obviamente una solución. Ahora, supongamos que cambiamos f(0) a algunos h valor. Se puede afirmar entonces que la función g (x) = f (x) - x tendrá la simetría g(7-x) = g (x). Por lo tanto agregar h a f(0) aumentará el valor de f(7) por h, por lo tanto se va a aumentar a 7 + h.

Answer 4

que $g(x) = f(x) - x$

A continuación:

$$g(1)=g(2)=g(3)=g(4)=g(5)=g(6)=0$$

Por lo tanto:

$$g(x) = A(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)$$

También sabemos que $g(0)=f(0)-0=f(0)=h$ $A$ podemos encontrar.

$h=A\times 1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6$ so $A=\frac{h}{6!}$

$f(7) = g(7) + 7 = 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1\times \frac{h}{6!} + 7 = h + 7$

Answer 5

\begin{align} f(x) &=ax^6 +bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+3 \end {Alinee el}

Given that : $f(1)= 1$, $f(2) =2$ , $f(3) = 3$, $f(4) =4$, $f(5)=5$, $f(6) =6$, find $f(7)$.

También es útil agregar que $f(0)=3$.

Aplicación de diferencias sucesivas reduce el grado del polinomio en cada paso hasta $0$, y esta fórmula útil demuestra para arriba:\begin{align} \sum_{k=0}^7 (-1)^k\binom{7}{k}f(x-k) &=0 \end {Alinee el}

\begin{align} f(7)&= -\sum_{k=1}^7 (-1)^k\binom{7}{k}f(7-k) \\ &= 7 f(6)-21 f(5)+35 f(4)-35 f(3)+21 f(2)-7 f(1)+f(0) \\ &= 7\cdot 6-21 \cdot 5+35 \cdot 4-35 \cdot 3 +21 \cdot 2 -7\cdot 1+3 \\ f(7)&=10. \end {Alinee el}