Demostrar que $\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right)^n + \left(\frac{3-\sqrt{17}}{2}\right)^n$ es siempre impar para cualquier natural $n$.

Question

Demostrar que %#% $ #%

siempre es curioso para cualquier natural $$\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right)^n + \left(\frac{3-\sqrt{17}}{2}\right)^n$.

Intentó escribir la expansión binomial y suma para cancelan los números de la raíz y quise lo decírnoslo pero no sabía cómo. También intentó utilizar inducción pero no estaba seguro de cómo proceder.

Answer 1

Tenga en cuenta que satisface la siguiente fórmula recursiva:

$$a_{n+2}=3a_{n+1}+2a_n\tag{$\estrella de$}$$

donde $a_n=\left(\frac{3+\sqrt{17}}2\right)^n+\left(\frac{3-\sqrt{17}}2\right)^n$.

Por lo tanto, si $a_{n+1}$ es impar, entonces $a_{n+2}$ es impar.

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$(\star)$ proviene de señalar que

$$a^2=3a+2\implies a=\frac{3\pm\sqrt{17}}2$$

Y la aplicación de las teorías de la lineal recursives.

Esta técnica es famoso, tomar la secuencia de Fibonacci, por ejemplo:

$$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\implies a^2=a+1$$

Este cuadrática tiene dos soluciones $a=\phi,-\phi^{-1}$. Por lo tanto, la secuencia de Fibonacci tiene la siguiente fórmula:

$$a_n=\frac{\phi^n-(-\phi)^{-n}}{\sqrt5}$$

donde $\phi$ es la proporción áurea.

Answer 2

SUGERENCIA:

Decir $\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right)=a$ y $\left(\frac{3-\sqrt{17}}{2}\right)=b$.

Ahora observe que: $$\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right)^n + \left(\frac{3-\sqrt{17}}{2}\right)^n$ $ $$=a^n+b^n$ $ $$=(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})-ab(a^{n-2}+b^{n-2})$ $ $$=\color{red}{3\cdot\left[\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right)^{n-1}+ \left(\frac{3-\sqrt{17}}{2}\right)^{n-1}\right]+ 2\cdot \left[\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right)^{n-2} + \left(\frac{3-\sqrt{17}}{2}\right)^{n-2}\right]}$ $

Ahora uso inducción fuerte y ver lo que puedes hacer.

P.S. $3 \times \mathrm{odd} + 2\times \mathrm{odd} = \mathrm{odd + even} = \mathrm{odd}$

Espero que esto te ayude.

Answer 3

Una solución de alta potencia proviene de mirar la expresión $ 2 $-adically. De hecho, eligiendo una inclusión $ \mathbf Q(\sqrt{17}) \to \mathbf Q_2 $ y tomando nota de que tenemos una suma de lo % de forma $ \alpha^n + \beta^n $, se nota que $ \alpha + \beta = 3 $ es raro. Se deduce que uno de $ \alpha, \beta $ es impar y el otro es en $ \mathbf Z_2 $ y así, sobre la reducción modulo $ 2 $, lo mismo es cierto para $ \alpha^n, \beta^n $ para cualquier $ n \geq 1 $; y por lo tanto es impar $ \alpha^n + \beta^n $.