¿Funciones únicas en un espacio proyectivo tridimensional?

Question

Que el campo base $k$ sea algebraicamente cerrado. Como se indica en el título de mi pregunta, ¿son las únicas funciones (algebraicas) sobre la variedad algebraica de $3$ -espacio proyectivo de dimensiones (sobre $k$ ) las funciones constantes?

Answer 1

Si por "funciones algebraicas" entiendes morfismos $\mathbb P^3 \to k$ que son regulares en todas partes (=sin ceros), entonces la respuesta es "sí". Esto es cierto, por ejemplo, porque $H^0(\mathbb P^3, \mathscr O)=k$ : las únicas secciones globales de la gavilla de funciones regulares son las constantes. Véase, por ejemplo, Hartshorne, Teorema 5.1 en el capítulo III.

Si por "funciones algebraicas" incluyes funciones racionales, es decir, funciones que son localmente el cociente de funciones regulares, entonces "no", $\mathbb P^3$ tienen muchos de estos.