No puede existir un AP infinito de cuadrados perfectos.

Question

No pude encontrar ningún preguntas existentes en este sitio indicando este problema. Por lo tanto, estoy publicando mi solución y me pregunte por otras formas de demostrar este teorema.

La Pregunta

Demostrar que no puede haber un infinito entero de una progresión aritmética de los distintos términos que son cuadrados perfectos.

Mi intento

Vamos a demostrar que el uso de contradicción. En primer lugar, hay un par de cosas a notar que simplifican enormemente nuestra discusión:

1. La AP no puede estar disminuyendo como, finalmente, los términos serán negativos y los cuadrados perfectos son no negativos.
2. Tiene que ser un no-cero, la diferencia positiva entre los términos de lo contrario, los términos no iba a ser distinto.

Acerquémonos, pues, asumir un punto de acceso con el primer término $a$ - un entero no negativo y el positivo de la diferencia de $d$. El $i$th término de la AP es $T_i=a+(i-1)d$.

La AP está aumentando, por lo tanto, no es un término $T_n$ por el menor valor de $n$ tal que $T_n\geq d^2$. Ahora, $T_{n+1}$ también es un cuadrado perfecto. Deje $T_{n+1}=b^2$. Por lo tanto, tenemos $$ d^2 \leq b^2 \implica d \leq b $$

Por lo tanto, tenemos $$ T_{n+1}=b^2+d<b^2+2b+1=(b+1)^2 $$ o $$b^2 < T_{n+1} < (b+1)^2$$

Sin embargo, no son cuadrados perfectos entre dos periodos consecutivos de cuadrados perfectos. Esto contradice nuestra suposición de que cada término es un cuadrado perfecto y un entero al mismo tiempo. Por lo tanto, no hay una progresión aritmética existe.

Answer 1

Usted puede probar un poco más fuerte que el resultado: Cualquier progresión aritmética con todos los términos distintos que puede tener a lo sumo un número finito de términos consecutivos de la que ambos son cuadrados.

Prueba: Si $d\not=0$ es la diferencia entre términos consecutivos y $a^2$ $b^2$ son dos términos consecutivos que son ambos cuadrados, a continuación,$d=b^2-a^2=(b+a)(b-a)$. Pero cualquier entero $d$ tiene sólo un número finito de factorizations, $d=rs$ ($r$$s$ de la misma paridad). Establecimiento $b+a=r$ $b-a=s$ y resolviendo $a=(r-s)/2$$b=(r+s)/2$, llegamos a la conclusión de que hay sólo un número finito de posibilidades para$a^2$$b^2$.

Answer 2

Manera ve bien a mí, aquí es otra forma:

Supongamos que $d$ es la diferencia común en alguna progresión aritmética. Sea $p$ cualquier primer diferente $2$ $d$ que no. No es difícil mostrar que luego de la progresión aritmética golpea cada clase de residuo mod $p$, pero sólo $\frac{p+1}{2}$ de ellos son residuos cuadráticos por lo que no todos pueden ser cuadrados.

Answer 3

Sí, esta es una muy buena manera de demostrarlo. Se generaliza fácilmente a los poderes superiores y muchas otras secuencias. Otros métodos pueden dar más estrictos límites, pero puede requerir más de la teoría de números, por ejemplo:

• El número de términos en una progresión aritmética que se $\le n$ $\Theta(n)$ con constantes dependiendo de la progresión, pero el número de plazas hasta el $n$ solo $O(\sqrt{n})$.

• Pick $p$ a ser el más pequeño impares primos que no dividen $d$ (esto es, en la mayoría de los $O(\log d)$ en tamaño). A continuación, uno de los primeros a $p$ términos será una ecuación cuadrática no-residuo de mod $p$.

• El uso de un infinito descenso argumento, puede ser demostrado que no hay ningún AP de longitud 4 en el conjunto de los cuadrados perfectos. Esto fue observado por primera vez por Fermat y puede ser demostrado por métodos más modernos, pero el folclore de la primaria de la prueba parece haber un poco de historia (ver http://www.mathpages.com/home/kmath044/kmath044.htm así como https://arxiv.org/abs/0712.3850).

Answer 4

Creo que también se puede demostrar al notar que la diferencia común entre cualquier cuadrados consecutivos es ilimitada.

Para cualquier diferencia común $d$, existen dos cuadrados consecutivos cuya diferencia es mayor que $100d$. Debe haber al menos un término en la progresión aritmética que cae entre estas dos plazas y como tal, no es un cuadrado.