¿Cómo usar eficientemente una calculadora en un examen de álgebra lineal, si se permite?

Question

Se nos permite usar una calculadora en nuestro examen de álgebra lineal. Afortunadamente, mi calculadora también puede hacer cálculos con matrices.

Imaginemos que hay una tarea como esta:

Calcular el rango de esta matriz:

$$M =\begin{pmatrix} 5 & 6 & 7\\ 12 &4 &9 \\ 1 & 7 & 4 \end{pmatrix}$$

El problema con esta matriz es que no podemos usar el truco con los múltiplos, no podemos ver múltiplos a simple vista y por lo tanto no podemos decir si los vectores filas/columnas son linealmente independientes/dependientes. Usar Gauss también es muy consumidor de tiempo (especialmente en el caso de que no obtengamos una línea de ceros y sigamos intentando).

Dicho esto, tomé mi calculadora porque se nos permite usarla y me dio los siguientes resultados:

$$M =\begin{pmatrix} 1 & 0{,}3333 & 0{,}75\\ 0 &1 &0{,}75 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Rápidamente veo que $\text{rango(M)} = 3$ ya que no hay ninguna fila llena de ceros.

Ahora mi pregunta es, ¿cómo puedo convencer al profesor de que lo calculé? Si la tarea dice "calcular" y simplemente escribo el resultado, no creo que obtenga todos los puntos. ¿Qué harías tú?

Y por favor, dame algún consejo, esto realmente consume mucho tiempo en un examen.

Answer 1

Hay un truco muy bueno para mostrar que tal matriz tiene rango completo, se puede realizar en unos pocos segundos sin necesidad de calculadora ni preocupaciones por "doblez moral". Las entradas de $M$ son enteros, por lo que el determinante de $M$ es un entero, y $\det M\mod{2} = \det(M\mod{2})$. Dado que $M\pmod{2}$ tiene la siguiente estructura $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix} $$ es trivial que $\det M$ es un entero impar. En particular, $\det M\neq 0$ y $\text{rango}(M)=3$.

Answer 2

Se te permite usar tu calculadora. Entonces, si fuera yo en el examen, escribiría algo así:

$$ \pmatrix{5&6&7\\12&4&9\\1&7&4} \overset{REF}{\to} \pmatrix{ 1 & 0,3333 & 0,75\\ 0 &1 &0,75 \\ 0 & 0 & 1 } $$ porque la forma reducida de $M$ no tiene filas de cero, $M$ tiene rango $3$.

REF aquí significa forma escalonada reducida (row-echelon form).

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Nota: Debes verificar con tu profesor si esta respuesta es suficiente o no. Puede ser que tu profesor quiera que cualquier cálculo de matrices se haga a mano. Ver el comentario de Robert Israel.

Si ese es el caso, entonces debes hacer la reducción por filas a mano. Solo requiere 3 operaciones de fila.