Distribución de un segundo grado polinomio de una variable aleatoria gaussiana

Question

Me gustaría calcular $$P(Y=aX^2+bX+c<0)$$

donde $X \sim N(0,\sigma)$. Puedo hacerlo con bastante facilidad utilizando Monte Carlo. Sin embargo, me han preguntado a encontrar la analítica pdf $f_Y(y)$ $Y$ y, a continuación, calcular

$$I=\int_{-\infty}^0 f_Y(y) dy$$

Supongo que $f_Y(y)$ será tal que $I$ sólo puede ser calculada numéricamente. Sin embargo, dado que es un univariante integral, métodos numéricos están disponibles para calcular a muy alta precisión. Hay una relativamente sencilla expresión de $f_Y(y)$, de modo que yo pueda realizar la integración numérica? O hay otra posibilidad para el cómputo de los $I$, aparte de Monte Carlo (que es en mi opinión el método más sensato)?

Answer 1

Tenga en cuenta que $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, donde $x_1$ y $x_2$ son raíces del polinomio $ax^2+bx+c$. Debemos suponer que $x_1$ y $x_2$ son reales y no igual, de lo contrario la probabilidad de que se trate es trivial cero o uno.

Tenemos dos casos.

1. $a>0$, entonces el $P(aX^2+bX+c<0) = P(x_1<X<x_2)$.

2. $a<0$, entonces el $P(aX^2+bX+c<0) = P(X<x_1 \cup X>x_2)=1- P(x_1<X<x_2).$

$X$ Es normal, las probabilidades se pueden calcular usando la función de distribución acumulativa de la variable normal.