Superficie de Riemann

Question

Intento describir la superficie de Riemann de $f(z)=((z-1)(z-2)(z-3))^{2/3}$. He encontrado en la rama de los puntos 1, 2 y 3 también se dio cuenta de $\infty$ no es un punto de ramificación. Desde que tome la tercera raíz, veo tres de la hoja. No estoy seguro, pero el segmento de la línea de $[1,3]$ es mi candidato para la rama de corte. Porque en este caso puedo evitar ir alrededor de los puntos 1,2,3. Mis preguntas son las siguientes:

• ¿Cuál es la rama apropiada recortes en esta pregunta?
• Es su superficie de Riemann homeomórficos a cualquier conocido de la superficie?
• Hacer diferentes cortes de ramas dan lugar a la misma superficie de Riemann como un espacio topológico?
• Son los puntos de ramificación entre ceros y polos

También estaría agradecido si usted podría recomendar algunas referencias acerca de estas preguntas. Gracias

Answer 1

Podemos elegir cualquiera de las sucursales de los recortes que comienzan en los puntos de ramificación $z=1,2,3$ y se extienden hasta el punto en $\infty$.

La ELECCIÓN de $1$:

Como un primer ejemplo, cortar el plano con las tres línea recta a lo largo de las rutas real positiva del eje partir de (i) $z=1$, (ii) $z=2$ y (iii) $z=3$ y termina en el infinito.

Ahora, vamos a examinar el argumento de $f(z)$ al $\text{Im}(z)=0$ $\text{Re}(z)>3$ en la hoja para que el$0\le \arg(z-n) <2\pi$$n=1,2,3$.

Se aproxima el eje real a partir de la mitad superior del plano, tenemos $\arg(f(z))=0$, mientras que el que se acerca desde la parte inferior de la mitad de plano, tenemos $\arg(f(z))=\frac23(2\pi +2\pi +2\pi)=4\pi$. En cuanto a $e^0 =e^{i4\pi}$, podemos ver que $f(z)$ es de valor único en que parte del eje real, donde los tres cortes de ramas coinciden.

Por lo tanto, la "eficacia" de la rama de corte es simplemente el segmento de la línea de$z=1$$z=3$.

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La ELECCIÓN de $2$:

Como un segundo ejemplo, podemos cortar el plano con tres línea recta caminos (i) a lo largo del eje real de partida en (i) $z=1$ y terminando en $z=-\infty$, y a lo largo de la real positiva del eje de partida en (ii) $z=2$ y (iii) $z=3$ y termina en el infinito.

Vamos a examinar el argumento de $f(z)$ al $\text{Im}(z)=0$ $\text{Re}(z)>3$ en la hoja para que $-\pi <\arg(z-1)\le \pi$$0\le \arg(z-n) <2\pi$$n=2,3$.

Se aproxima el eje real a partir de la mitad superior del plano, tenemos $\arg(f(z))=0$, mientras que el que se acerca desde la parte inferior de la mitad de plano, tenemos $\arg(f(z))=\frac23(2\pi +2\pi +0)=\frac{8\pi}{3}$. En cuanto a $e^0\ne e^{i8\pi/3}$, podemos ver que $f(z)$ no es de valor único en que parte del eje real, donde sólo dos de los tres cortes de ramas coinciden.

A continuación, vamos a examinar el argumento de $f(z)$ al $\text{Im}(z)=0$ $\text{Re}(z)<1$ en la misma hoja para que $-\pi <\arg(z-1)\le \pi$$0\le \arg(z-n) <2\pi$$n=2,3$.

Se aproxima el eje real a partir de la mitad superior del plano, tenemos $\arg(f(z))=\frac23(\pi+\pi+\pi)=2\pi$, mientras que el que se acerca desde la parte inferior de la mitad de plano, tenemos $\arg(f(z))=\frac23(\pi +\pi -\pi)=\frac{4\pi}{3}$. En cuanto a $e^{2\pi}\ne e^{i4\pi/3}$, podemos ver que $f(z)$ no es de valor único en que parte del eje real, donde sólo hay una rama de la corte.

Por lo tanto, $f(z)$ es analítica ni a lo largo de la real positiva del eje de $z=2$ $\infty$ni a lo largo del eje real de$z=1$$z=-\infty$.

Answer 2

El uso de la derivada logarítmica de la función de definir: $$ f = C\exp\left\{\int_{z_0}^{z}\frac{2}{3}\left[\frac{1}{w-1}+\frac{1}{w-2}+\frac{1}{w-3}\right]dw\right\} $$ Si usted elige un camino de $z_0$ $z$que los círculos de 3 veces alrededor de uno de los polos, 2 veces alrededor de un polo y 1 hora alrededor de otro, o círculos de las tres, la función devuelve el valor original. Puede definir una rama omitiendo el segmento de$1$$3$. O, usted puede omitir la no intersección de infinitos segmentos de$1$$\infty$,$2$$\infty$, y de$3$$\infty$.