¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es necesariamente cierta?

Question

Dejemos que $AM_{5×6}(\mathbb R)$ y $BM_{6×5}(\mathbb R)$ tal que $(AB)^{100}=0$ . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es necesariamente cierta?

(a) $(AB)^{4}=0$

(b) $(BA)^{6}=0$

(c) $\det(BA)=0$

(d) $\operatorname{tr}(AB)=0$

Answer 1

(a) no tiene por qué ser cierto ya que $$A=\left( \begin{matrix} 0& 1& 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 0& 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 0& 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0& 0& 1 &0 \\ 0 & 0& 0& 0& 0& 0 \\ \end{matrix}\right) \mathrm{\qquad and \qquad} B=\left( \begin{matrix} 1& 0& 0 & 0 & 0 \\ 0& 1& 0 & 0 & 0 \\ 0& 0& 1& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1& 0 \\ 0 & 0& 0& 0& 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)$$ satisfacer $(AB)^4\ne 0 $ pero $(AB)^5= 0 $ .

Ahora el polinomio característico de $AB$ $\ $ es de grado $\le 5$ y divide $X^{100} $ por lo que debe ser igual a $X^5$ . (b) es verdadera ya que $(BA)^6=B(AB)^5A=0$ por Cayley-Hamilton. (c) es verdadera ya que el determinante de $AB$ es $\pm$ el término constante del polinomio característico de $AB$ y (d) es verdadera ya que tr $(AB)$ es $-({\mathrm{ coefficient\ of \ }}X^4)$ .