Fuerza normal de la bola de desplazamiento en superficie cóncava

Question

Imagina una bola que se desliza a lo largo de una superficie en forma de $y=x^2$. Como ,

pero por favor, ignora el hecho de que el centro de la bola que está en la superficie en lugar de la orilla.

Cuando el balón está parado, puedo calcular la fuerza normal con bastante facilidad. $F_\text{net}$ en la dirección normal a la superficie es 0. La fuerza normal es la normal a la superficie, por lo que es la fuerza que es exactamente lo suficientemente fuerte como para cancelar la componente normal de la fuerza de la gravedad.

La fuerza normal sale a $<\frac{-a}{(1 + a^2)}, \frac{1}{(1 + a^2)}>$ donde $a=f_{\text{surface}}'(x)$ (o, en este caso específico: $a=2x$)

Al principio me esperaba esto es cierto incluso después de que la pelota comienza a deslizarse por la superficie, pero me pareció que no era. Intuitivamente, yo entiendo que la velocidad con un no-cero de la componente en la dirección normal afecta a la resistencia de la fuerza normal. Esto parece el mismo mecanismo por el cual la fuerza normal es capaz de detener un objeto que cae cuando golpea el suelo, por ejemplo.

En la caída de la bola ejemplo, la relación entre la velocidad y la fuerza normal parece un poco pegajosa matemáticamente. Suponiendo que ni el suelo ni el objeto de comprimir, la fuerza normal tendría que ser infinito, inicialmente, a la derecha? Sólo sería infinita para una cantidad infinitesimal de tiempo (por lo que la integral todavía sería finito). Sin embargo, en ese caso, el $v(t)$ curva es discontinuo, mientras que parece que $v(t)$ sería continua por un balón de deslizamiento en $y=x^2$, así que esperemos que la relación es menos molesto en el caso continuo.

Existe una formulación matemática de esta relación entre la fuerza normal y la velocidad? Puedo agregar un parámetro de velocidad a mi ecuación de $F_\text{net}(x)$ ( $F_\text{net}(x, v)$ ) para tomar esta relación en cuenta?

Nota: también veo una conservación de la energía de la solución que deja de lado la fuerza normal asunto, pero me gustaría entender las fuerzas aspecto.

Answer 1

Todo lo que necesita es la ley de Newton y el hecho de que la fuerza de la superficie es la fuerza normal, ya que no tienes ninguna fricción. Luego dibujar un diagrama y ver que $N_x/N_y=df/dx=v_y/v_x$. Luego resolver $F=d\vec{p}/dt=m\vec{g}+\vec{N}$. Si usted necesita $\vec{v}$ tambien uso conservación de la energía y condición inicial.

Enviar solución. ;)

Answer 2

Cuando una partícula sigue una trayectoria, a continuación, en un instante cualquiera, no es tangencial del vector $\vec{e}$ y un vector normal a$\vec{n}$, permitiendo que la velocidad se define como $$\vec{v} = v \vec{e}$$ and the acceleration $$ \vec{a} = \dot{v} \vec{e} + \frac{v^2}{\rho} \vec{n} $$ where $\rho$ es el radio de curvatura de la trayectoria.

Para una ruta definida por una función $f(x)$ con derivados $f'(x)$ $f''(x)$ el radio de curvatura es

$$ \rho(x) = \frac{\left(1+{f'(x)}^2\right)^\frac{3}{2}}{f''(x)} $$

y la dirección de los vectores de

$$ \begin{aligned} \vec{e}(x) &= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{1+{f'(x)}^2}} \\ \frac{f'(x)}{\sqrt{1+{f'(x)}^2}} \end{pmatrix} & \vec{n}(x) y= \begin{pmatrix} - \frac{f'(x)}{\sqrt{1+{f'(x)}^2}} \\ \frac{1}{\sqrt{1+{f'(x)}^2}} \end{pmatrix} \end{aligned} $$

La última parte, es el hecho de que la gravedad sólo afecta a la aceleración tangencial $\dot{v} = \vec{g} \cdot \vec{e}$ ($\cdot$ el producto escalar de vectores) $$ \dot{v} = -\frac{g f'(x)}{\sqrt{1+{f'(x)}^2}} $$

con el total de la aceleración $$ \vec{a} = \dot{v} \vec{e} + \frac{v^2}{\rho} \vec{n} \\\vec{a} = \begin{pmatrix} - \frac{g f'}{1+f'^2} - \frac{v^2 f' f''}{\left(1+f'^2\right)^2} \\ - \frac{g f'^2}{1+f'^2} + \frac{v^2 f''}{\left(1+f'^2\right)^2} \end{pmatrix} $$

El total de la fuerza aplicada es $\vec{F} = m \vec{a}$ y la fuerza de reacción es la componente normal de movimiento o $$\boxed{R = \vec{n} \cdot \vec{F} = \frac{m v^2}{\rho} = \frac{m v^2 f''}{\left( 1 + f'^2 \right)^\frac{3}{2}}}$$

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nota: esta área de estudio se denomina geometría diferencial (fórmulas de Frenet). Mira hacia arriba.