Es $(tr(A))^n\geq n^n \det(A)$ $A\in M_{n\times n} (\mathbb{R})$ simétrico matriz definida positiva

Question

Si $A\in M_{n\times n} (\mathbb{R})$ un simétrica positiva definida la matriz, la Pregunta es para comprobar si :

$$(tr(A))^n\geq n^n \det(A)$$

Lo que he intentado es :

Como $A\in M_{n\times n} (\mathbb{R})$ un simétrica positiva definida la matriz, todas sus eigen valores sería positivo.

deje $a_i>0$ ser eigen valores de $A$ luego :

$tr(A)=a_1+a_2+\dots +a_n$ $\det(A)=a_1a_2\dots a_n$

dada la desigualdad de ser cierto, debería haber $(tr(A))^n\geq n^n \det(A)$ es decir,

$\big( \frac{tr(A)}{n}\big)^n \geq \det(A)$

es decir, $\big( \frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\big)^n \geq a_1a_2\dots a_n$

Supongo que esto debe ser verdad como una forma general de la A. M-G. M desigualdad diciendo:

$(\frac{a+b}{2})^{\frac{1}{2}}\geq ab$ donde $a,b >0$

Por lo tanto, creo $(tr(A))^n\geq n^n \det(A)$ debe ser cierto..

por favor, hágamelo saber si estoy en lo correcto o trate de darle algunos consejos si estoy equivocado.

EDIT : Como cada uno decir que estoy en lo correcto ahora, me gustaría "probar" el resultado de lo que he usado igual que a saber, la generalización de A. M-G. M desigualdad..

Lo intenté, pero no podía ver este resultado en detalle. ASÍ, yo estaría muy agradecido si alguien me puede ayudar en este caso.

Answer 1

Esto es realmente un problema de Cálculo! De hecho, vamos a buscar el máximo de $h(x_1,\dots,x_n)=x_1^2\cdots x_n^2$ sobre la esfera $x_1^2+\cdots+x_n^2=1$ (un conjunto compacto, de ahí la máxima de que existe). En primer lugar observamos que si algunos de $x_i=0$, $h(x)=0$ cual es, obviamente, el mínimo. Por lo tanto buscamos acondicionado, un punto crítico con el no $x_i=0$. Para ello vamos a calcular el gradiente de $h$, es decir, $$\nabla h=(\dots,2x_iu_i,\dots),\quad u_i=\prod_{j\ne i}x_j^2,$$ y para ser condicionada punto crítico (Lagrange) debe ser ortogonal a la esfera, es decir, en paralelo a $x$. Esto implica $u_1=\cdots=u_n$, y puesto que no $x_i=0$ llegamos a la conclusión de $x_1=\pm x_i$ todos los $i$. Desde $x$ es en la esfera, $x_1^2+\cdots+x_1^2=1$$x_1^2=1/n$. En este punto de obtener el máximo de $h$ en el ámbito: $$h(x)=x_1^{2n}=1/n^n.$$

Y ahora, podemos deducir que el obligado. Deje $a_1,\dots,a_n$ ser números reales positivos y escribir $a_i=\alpha_i^2$. El punto de $z=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)/\sqrt{\alpha_1^2+\cdots+\alpha_n^2}$ es en la esfera, por lo tanto $$\frac{1}{n^n}\ge h(z)=\frac{\alpha_1^2\cdots\alpha_n^2}{(\alpha_1^2+\cdots+\alpha_n^2)^n}=\frac{a_1\cdots a_n}{(a_1+\cdots+a_n)^n},$$ y hemos terminado.