Forma cerrada de $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{4^n(x+4)^{2n}}n$

Question

Vamos $$S(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{4^n(x+4)^{2n}}n$$ 1. Encontrar el radio de convergencia.
2. Calcular el $S(x)$.
3. Encontrar $S^{(n)}(x)$ sin cómputo de los derivados de $S(x)$.

A partir de la raíz de la prueba me parece $R = 1/4$. Es el segundo punto que me preocupa. Este es mi intento: $$\begin{align} S(x) &= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{4^n(x+4)^{2n}}n =\\ &= \sum\limits_{n=1}^\infty 2^{2n+1}\int_{-4}^x (t + 4)^{2n-1}\mathrm dt =\\ &= \int_{-4}^x \sum\limits_{n=1}^\infty 2^{2n+1}(t + 4)^{2n-1}\mathrm dt =\\ &= 4\int_{-4}^x \sum\limits_{n=1}^\infty 2^{2n-1}(t + 4)^{2n-1}\mathrm dt =\\ &=\ ??? \end{align}$$

No sé cómo seguir desde allí. Sé que debería transformar el interior de la suma a una expansión de Taylor o de una serie geométrica, pero no veo cómo podría hacer eso.

En el último punto, tenemos que $$S(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{4^n(x+4)^{2n}}n = \sum_{n = 0}^\infty \frac{S^{(n)}(x)}{n!}(x + 4)^n,$$ como por la serie de Taylor de la definición. Sin embargo, no sé cómo reconciliar los índices y las dos potencias $2n$$n$.

Answer 1

Vamos a configurar $A = 4(x+4)^2$. Usted quiere encontrar %#% $ #%

Answer 2

Me gustaría probar lo siguiente:

$$|x|<1\implies \frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n\stackrel{\text{diff.}}\implies\frac1{(1-x)^2}=\sum_{n=1}nx^{n-1}$$

Compruebe ahora que $\;|4(x+4)^2|<1\;$ $\;|x+4|<\frac14\;$ y $\;S(x)\;$ obtener después integrar (o integrando directamente)

Answer 3

Un truco rápido para calcular $S(x)$ es la siguiente. Usar $$ \frac{1}{n}=\int_0^\infty ds\ e ^ {-sn} $$ $$ de escribir S (x) = \int_0^\infty ds \sum_{n=1}^\infty (4e ^ {-s} (x + 4) ^ 2) ^ n = \int_0^\infty ds \frac{4e^{-s} (x + 4) ^ 2} {1-4e ^ {-s} (x + 4) ^ 2} =-\ln \left(-4 x^2-32 x-63\right) \, $$ donde uno utiliza la serie geométrica y la simple sustitución $e^{-s}=z$.

Answer 4

Que $t=4(x+4)^2$ y la serie se convierte en

$$\sum_{k=1}^\infty\frac{t^n}n.$$

Puede reconocer el desarrollo de Taylor de $-\ln(1-t)$, o derivar la serie a

$$\sum_{k=1}^\infty t^{n-1}=\frac1{1-t}.$$

Answer 5

El enfoque en el OP puede trabajar. Sólo necesitamos hacer una substitución simple para facilitar. Para ello, se procede.

Que $S_N(x)$ denotan las sumas parciales de la serie $S(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{4^n(x+2)^{2n}}{n}$. Luego, dejar que $y=(2x+8)^2$, $|y|<1$, tenemos

$$\begin{align} S_N(x)&=\sum_{n=1}^N \frac{4^n(x+2)^{2n}}{n}\\\\ &=\sum_{n=1}^N \frac{y^n}{n}\\\\ &=\sum_{n=1}^N \int_0^y z^{n-1}\,dz\\\\ &=\int_0^y \frac{1-z^N}{1-z}\,dz\\\\ &\to -\log|1-y|\,\,\text{as}\,\,N\to \infty \tag 1\\\\ &=-\log\left|1-(2x+8)^2\right|\\\\ &=-\log|2x+9|-\log|2x+7| \end {Alinee el} $$

donde la justificación para intercambiar el límite con el integral en $(1)$ es proporcionada por los teoremas de convergencia dominada desde $\left|\frac{1-z^N}{1-z}\right|\le \frac{2}{|1-z|}$ $|z|<1$.