Prueba probabilística de la existencia de un número entero

Question

El primer número teorema (PNT) dice que un entero $n$ es primo con una probabilidad de $\frac{1}{\ln n}$.

Utilizando sólo PNT, es concebible que cada entero hasta $10^{10^{10}}$ es no-prime. Sin embargo el uso de otros métodos, este no es el caso.

Hay un teorema análogo al PNT de tal manera que cada número entero se le asigna una clara probabilidad positiva para satisfacer una propiedad $P(n)$, pero no enteros que satisfacen $P(n)$ es conocido?

Sin embargo, si sumamos las probabilidades, y es la síntesis de a $1$, lo que hace es probar la existencia de un número entero? Y también que no hay ningún otro (luego probabilístico) los métodos para probar la existencia de un entero que satisfacer $P(n)$. Y debe necesariamente demostrar la existencia de un infinito tales enteros (que satisfacer $P(n)$)?

Answer 1

Realmente no tiene sentido asignar una cierta probabilidad (distinto de 0 o 1) para cada entero tener algunos (específicos) de la propiedad. Cada entero tiene una propiedad o no.

A veces puede ser productivo para pretender que dicha probabilidad puede ser asignado, en lo que se conoce generalmente como una "heurística" argumento. Tales argumentos pueden ayudar a obtener una idea de si es razonable esperar ser capaz de demostrar algo, si un análisis exacto parece ser difícil. Pero no es en sí mismo una prueba técnica que cumpla con los requisitos de rigor matemático, y nunca es posible demostrar (porque nunca es cierto) de que algunos no trivial de la función $f:\mathbb N\to [0,1]$ siempre da una real probabilidad de que su argumento tenga una cierta definitiva de la propiedad.

Lo que uno puede hablar con rigor es la forma asintótica de la densidad de los números con la propiedad, que está cerca de la intuitiva-pero-concepto erróneo de una cierta probabilidad para cada entero. De manera más general, podemos hablar de la tasa de crecimiento del número de enteros por debajo de $n$ con la probabilidad.

Por ejemplo, si queremos demostrar que hay infinitamente muchos enteros con la propiedad $P(n)$, podemos expresar esto diciendo que el $P$-a contar de la función crece más rápido que cualquier función constante. (Eso no suena como mucho, pero al menos es algo). La teoría de números contiene varios ejemplos de propiedades donde se sabe que infinitamente existen muchos ejemplos, pero ningún ejemplo concreto ha sido encontrado. Un ejemplo son los puntos donde la diferencia entre el primer conteo y la función logarítmica de la integral cambia de signo.

Otro (tanto artificial) ejemplo sería $P(n)\equiv$ "$n$ es un primer $>2^{2^{26}}$".

Es una pregunta interesante lo que el más grande no se las ingenió ejemplo es de un límite inferior de tal forma que una propiedad natural se sabe que al menos esta densidad, pero no hay ejemplos conocidos.

Dependiendo de las normas sobre el artificio, la respuesta puede ser que incluso propiedades asintóticas de la densidad del 100% puede no tener ningún ejemplo conocido, como $P(n)\equiv$ "ninguna máquina de Turing con $42$ estados, cuando se inicia en una cinta en blanco, se detiene con exactamente $n$ 1 plazas en la final de la cinta".