Deje $\beta \in \mathbb{R}$$\beta >1$. Definir $T_{\beta}:[0,1)\to [0,1)$ por:
$$T_{\beta}(x)=\beta x-[\beta x]=\{\beta x\} $$.
Considere la posibilidad de:
$$ h(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\chi_{\{y:y<T_{\beta}^n(1)\}}(x)}$$
Muestran que el mapa de $T_{\beta}$ preserva la medida de $\mu$ definido por:
$$\mu(A)=\int_{A}{h(x)dx} $$
Y luego demostrar que $T_{\beta}$ es ergodic con respecto a $\mu$.
Tengo algunas dudas con respecto a este problema. Primero de todo, quiero saber algunas propiedades de la órbita $\{T_{\beta}^n(1), n\ge 0 \}$. Creo que esta medida es finito, pero no podía demostrarlo.
Por desgracia, yo no podía probar nada directamente relacionado con el problema =/
