Pregunta sobre derrumbarse cardenales

Question

Supongamos que, en $M$, $\kappa$ regular, $\lambda>\kappa$ regular. ¿Hay un genérico de extensión de $M$ que $\kappa^+ = \lambda$, y en el que los cardenales $\leq \kappa$ $\geq \lambda$ se conservan?

Me imagino que, suponiendo que la GCH, la respuesta es sí si $\lambda$ es un límite, es el sucesor de un cardenal de cofinality $\geq\kappa$. El único caso restante es $\lambda = \delta^+$ algunos $\delta$ de cofinality $<\kappa$, por ejemplo,$\kappa = \omega_1$$\lambda = \omega_\omega^+$.

Me doy cuenta de que en este caso restante, en $M[G]$ $\kappa^{<\kappa} \geq \lambda$, así que el forzamiento de la noción de no ser $<\kappa$-distributiva. Por lo tanto la tasa colapso no es suficiente.

Answer 1

Muchas preguntas de este tipo están abiertas. Por ejemplo, considere la situación en la $\kappa = \aleph_n$$\lambda = \aleph_{n+2}$. Así que quiero saber si se puede colapsar $\aleph_{n+1}$$\aleph_n$, mientras que la preservación de todos los demás cardenales. Ahora si $n=0$ esto es posible gracias a la recaudación de colapso. Para $n=1$, esto es de nuevo posible, lo que es debido de manera independiente a Abraham y Todorcevic. Para $n=2$ este recientemente fue contestada por Aspero (usted también encontrará referencias a otros artículos). Para $n \geq 3$ esto todavía está abierta, y creo que también está abierta, por ejemplo, si usted puede colapsar $\aleph_{\omega+1}$ $\aleph_1$con un conjunto estacionario preservación parcial de la orden de tamaño de $\aleph_{\omega+1}$ (a la que por lo tanto no se derrumbe más grande cardenales y también preservar $\aleph_1$).

Por supuesto, esto es sólo teniendo en cuenta los casos especiales de su pregunta, así que quizás una respuesta negativa a la pregunta general que ya se conoce.