¿Interpretación geométrica de derivada Total?

Question

Decir que:

$$z = xy$$

Por lo tanto:

$${\partial z \over \partial x} = y$$

y

$${\partial z \over \partial y} = x$$

Si trama en el espacio 3D de la superficie 2D correspondiente a eq1, que tomar un punto en que la superficie, la tangente respecto al eje x es y, y las correspondientes tangentes al eje de y es x.

¿Hacer los derivados totales ($dz \over dx$ y $dz \over dy$) tienen una interpretación geométrica similar?

Answer 1

Aquí hay dos maneras de pensar sobre el total de la derivada de una función $z$.

1. Si el vector gradiente de campo es $$\nabla z = \begin{pmatrix}\frac{\partial z}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y}\end{pmatrix},$$ el total de derivados es un "covector campo", otorgado por la transposición de la pendiente, $$dz = \begin{pmatrix}\frac{\partial z}{\partial x}\ \ \frac{\partial z}{\partial y}\end{pmatrix}.$$ ¿Qué información de este codificar? Derivadas direccionales. Si $v = \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2\end{pmatrix}$ es un campo vectorial, entonces la matriz de multiplicar $(dz)(v)$ es la función que indica la derivada direccional de $dz$ a lo largo de $v$ en cada punto.

2. Recuerde que a partir de cálculos que la derivada es la pendiente de la mejor afín-aproximación lineal a una función. En otras palabras, si se acerca a$x_0$, $f$ comienza a parecerse mucho a la $f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$. En este contexto, $dz$ es la "mejor aproximación lineal" a$z$$(x,y)$. Si se acerca a $(x_0,y_0)$, el mapa de $z$ se parece mucho a las afín-lineal mapa $$x_0y_0 + \begin{pmatrix}\frac{\partial z}{\partial x} \ \ \frac{\partial z}{\partial y}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-x_0 \\ y-y_0\end{pmatrix}.$$ The first term is $z(x_0,y_0) = x_0y_0$, y de nuevo tenemos que la matriz se multipliquen en el segundo término.

Answer 2

Ampliando un poco en mi comentario sobre tu otra pregunta: el total derivados no es tomado en una dirección específica (es decir, con respecto a una variable en particular). Más bien, es de aproximadamente un vector cuyos componentes están dados por las derivadas parciales. Si nos dedicamos a un punto, el de cada derivada parcial da la pendiente de la tangente a la línea en la dirección dada. En un punto suave, estas líneas son distintos, es decir, linealmente independientes, para determinar a un avión. Así como usted puede imaginar un varían suavemente recta tangente en un punto sobre una curva, se puede imaginar un varían suavemente plano tangente en un punto sobre una superficie.

Answer 3

El total de los derivados pueden ser utilizados en geometría dinámica. Ver Geogebra. La adición de tiempo a la geometría era una parte de Newton del cálculo. La estática $(x,y,z)$ sistema de coordenadas se expandió a $(x,y,z,t)$. La estática de coordenadas ampliado a $[x(t),y(t),z(t)]$. Un derivado de interés es $dz/dt$. La variable independiente es el tiempo que se traza a lo largo de la $x$-eje. Las variables dependientes $(x,y,z)$ se trazan de forma individual a lo largo del eje vertical. También, en la geometría de la $z$ puede explicarse como el radio de un círculo en expansión $x(t)^2 + y(t)^2 = z(t)^2$. Esto agrega tiempo al teorema de Pitágoras. En la teoría especial de la relatividad $z=ct$ donde $c$ es la velocidad de la luz. Esta geometría es el cono de luz. Newton estaba interesado en las órbitas de los planetas. Esto requiere mantener un seguimiento de las direcciones de los movimientos con los vectores. Afortunadamente el movimiento de la tierra es principalmente en un plano. En este caso, el objeto en el plano de la geometría de la elipse para el cerrado de las órbitas. Es una hipérbola o parábola para abrir órbitas. Otro geométricas elemento de interés es la curvatura. Para un círculo es $1/r$ y para una esfera es $1/r^2$. El $1/r^2$ se interpreta como la fuerza de gravedad. Euler demostró que la segunda derivada con respecto al tiempo es también la curvatura. Esta segunda derivada se interpreta como la aceleración. Por lo tanto la segunda ley de Newton establece que temporal curvatura debe ser igual a la curvatura espacial local de masas y de una constante universal como parámetros. Esta fue la dinámica de la geometría que fue utilizado antes de que Einstein creó su geometría de la gravedad, conocida como teoría General de la Relatividad. La mecánica cuántica requiere el desarrollo de un tipo completamente diferente de la geometría.