Producto de polinomio en $\mathbb{F}_7$

Question

Necesito calcular el producto % polinomio $$(x^3+3x^2+3x+1)(x^4+4x^3+6x^2+4x+1)$$

Cuando los coeficientes son considerados como elementos del campo $\mathbb{F}_7$.

¿Quiero que alguien me explique qué significa cuando un cofficient (tomemos 3 por ejemplo) se encuentra en $\mathbb{F}_7$? Sé que $\mathbb{F}_7= \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$

Answer 1

Sugerencia: usar Teorema del binomio al factor los dos polinomios. ¿Qué sabes acerca de $(a+b)^p$ cuando $a,b\in\Bbb F_p$? Si la respuesta a esa pregunta es "No sé", no te preocupes: puedes volver a utilizar Teorema del binomio para expandir el producto y recuerde que entero múltiplos de $7$ son iguales a $0$modulo $7$.

Answer 2

Utilizamos $3$ como taquigrafía para el coset $$7\mathbb{Z}+3=\{\ldots,-11,-4,3,10,17,\ldots\}$$ in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$. Since $$\cdots=7\mathbb{Z}-11=7\mathbb{Z}-4=7\mathbb{Z}+3=3\mathbb{Z}+10=3\mathbb{Z}+17=\cdots,$$ when working in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$, we have $$\cdots=-11=-4=3=10=17=\cdots.$$

Prácticamente, esto significa que si $k$ se presenta como un coeficiente, podemos reemplazar $k$ $k \text{ mod } 7$.

Answer 3

Bueno, puede multiplicar dos polinomios en el habitual primero, luego ves los coeficientes y reducirlos a modulo 7. Por ejemplo: $(3x^2+x+1)(x^2+3x+6) = 3x^2(x^2+3x+6)+x(x^2+3x+6)+1.(x^2+3x+6)=(3x^4+9x^3+18x^2)+(x^3+3x^2+6x)+(x^2+3x+6)=3x^4+10x^3+22x^2+9x+6$ que es lo mismo que $3x^4+3x^3+x^2+2x-1$ $\mathbb{Z}_7$ porque $10 \equiv 3 \pmod{7}$, $22 \equiv 1 \pmod{7}$, %#% de %#% y $9 \equiv 2 \pmod{7}$.

Answer 4

Como otros han mencionado, un número entero $n$ $\mathbb{Z}_p\equiv{n\mod p}$. Por lo que coeficientes sólo pueden ser en el conjunto de $\{0,1,2,...,p-2, p-1\}$ así, puede noquear a términos con coeficientes de la forma $pn$. En sus caso múltiplos de $7\equiv{0\mod7}$.

Voy a añadir un poco más de un toque a cameron

$(a+b)^p={p\choose0}a^p+{p\choose 1}a^{p-1}b+{p\choose 2}a^{p-2}b^2+...+{p\choose p-1}ab^{p-1}+{p\choose p}b^p$

$=\frac{p!}{p!0!}a^p+\frac{p!}{(p-1)!1!}a^{p-1}b+\frac{p!}{(p-2)!2!}a^{p-2}b^2+...+\frac{p!}{1!(p-1)!}ab^{p-1}+\frac{p!}{0!p!}b^p$

$=1a^p+pa^{p-1}b+\frac{p(p-1)}{2}a^{p-2}b^2+...+pab^{p-1}+1b^p$

$=a^p+0a^{p-1}b+0a^{p-2}b^2+...+0ab^{p-1}+b^p$

$=a^p+b^p$