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Colocación de Ts en el eje de % de $x$

Una "T" se compone de dos perpendicular intervalos de $\{c\}\times[0,a]$ $[b,d]\times \{a\}$ ( $b<c<d$ ) en el avión. Podemos decir que la T se coloca en el punto de $c$. Es posible que no intersección de T en todos los números reales en la $[0,1]$ intervalo de la $x$-eje?

Creo que la respuesta debe ser "no". Supongamos que fuera posible. Podemos suponer que cada uno de los T tiene igual de izquierda halfwidth y derecho-halfwidth (es decir, la mitad de la línea horizontal de la T.) Para cada número real $x\in[0,1]$, vamos a $h_x$ denotar la altura de su T y $w_x$ denotar su halfwidth. Luego de dos números reales $x,y\in[0,1]$ tienen intersección de T si $h_y< h_x$$|x-y|\le w_y$, y viceversa. Así que cada vez tenemos $h_x>h_y$, debemos tener $|x-y|>w_y$. ¿Cómo podemos conseguir una contradicción?

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Monkey Wrench Puntos 1

En los comentarios miracle173 señaló que, convencionalmente, $[0,a]$ se refiere a un intervalo de con $0$ a la izquierda y $a$ a la derecha. Por no asumir la convención había resuelto un problema más general a continuación. Precisamente, había permitido que la $T$'s a la verticalidad de las partes que toman la forma $[-a,0]$. Si usted quiere asumir que todos los $T$ " s "hacia arriba", entonces la contradicción que termina la prueba del teorema siguiente se resuelve el problema. De lo contrario, usted está adentro para un poco de diversión, mi tratamiento.

Definir un par de funciones: $r:[0,1]\to\mathbb R$ la asignación de $z$ $d$ de la $T$$z$; del mismo modo, $l:[0,1]\to\mathbb R:z\mapsto b$. También, definir $h:[0,1]\to\mathbb R$ mediante la asignación de $x$ $a$ de la $T$$x$.

Tenga en cuenta que no $x$ satisface $h(x)=0$. Definir $U=\{x\in[0,1]:h(x)<0\}$.

Teorema. $U$ es denso en $[0,1]$.
Prueba. Deje $(x,y)$ ser un intervalo abierto en el que todos los $T$'s están en posición vertical--$h(z)>0$ todos los $z\in(x,y)$. Set $\delta=\frac{y-x}3$. Elija cualquier punto de $z_0\in(x,x+\delta)$. Definir de forma inductiva $z_{n+1}$, por lo que le a cualquier punto de la satisfacción de $z_n<z_{n+1}<\min\{c_n,z_n+2^{-(n+1)}\delta\}$ donde $c_n$ es el mínimo de los diversos $r_m,m\le n$. A continuación, $\langle z_n\rangle$ es un aumento de la secuencia acotada arriba por $x+2\delta$. Converge a $z\in(x,y)$.

Observar, $z\le r(z_n)$ cualquier $n$, por lo que para evitar intersecciones $h(z)<h(z_n)$. Por otra parte, $z>l(z)>z_n$ todos los $n$. Tomando límites, $l(z)=z$, una contradicción. $\square$

Del mismo modo, el conjunto de $V=\{x\in[0,1]:h(x)>0\}$ también es denso en $[0,1]$. Ahora vamos a construir dos secuencias de $\langle x_n\in U\rangle$ $\langle y_n\in V\rangle$ en una manera similar a la construcción en la prueba anterior. Pick $x_0<2^{-2}$$U$. Definir $a_0=r(x_0)$, y elija $y_0\in V$ que $x_0<y_0<\min\{a_0,x_0+2^{-3}\}$. Definir $a_1=\min\{a_0,r(y_0)\}$. Dado $x_n,y_n,a_{2n+1}$. Pick $x_{n+1}\in U$ tal que $$y_n<x_{n+1}<\min\{a_{2n+1},y_n+2^{-(2n+3)}\}.$$ Let $a_{2n+2}=\min\{a_{2n+1},r(x_{n+1})\}$. Choose $y_{n+1}\in V$ such that $$x_{n+1}<y_{n+1}<\min\{a_{2n+2},x_n+2^{-(2n+4)}\}.$$ Let $a_{2n+3}=\min\{a_{2n+2},r(y_{n+1})\}$. Then, both sequences are bounded and increasing, and they have a shared limit $z$, which lies in $[0,1]$.

Desde $z\le r(x_n)$ por cada $n$, se puede argumentar como en la prueba del teorema, ya sea para obtener $z\in V$ o $l(z)=z$. De la misma manera, cualquiera de las $z\in U$ o $l(z)=z$. Desde $U\cap V=\emptyset$, debe ser cierto que $l(z)=z$. Esta es una contradicción.

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AJMansfield Puntos 527

Esta realidad no puede abordar su pregunta, pero puede ayudarle a pensar de una manera diferente:

Para cualquier conjunto de un número finito de $x_i \in [0,1]$, sabemos que usted puede construir un conjunto de abrir los intervalos de $I_i$ tal que $x_i \in I_i$$x_i \notin I_j \;\forall j < i$. Este es (o debería ser) bastante fácil de entender por qué; una manera muy fácil de construir todos estos intervalos es que si nos ponemos todos nuestros $x_i$'s en orden ascendente, asignar el primer $x$ el intervalo de $(-\infty,\infty)$, y cada una de las $x_i$ el intervalo de $(x_{i-1}, \infty)$. Es claro ver que podemos mostrar esto para el caso de que por cualquier secuencia finita de $x$ valores.

Para mostrar cómo gestionamos para un número infinito de valores, voy a poner la secuencia juntos como esto: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{5}{8}, \frac{7}{8}...$

Luego podemos ver que podemos asignar a cada número un intervalo de como esta: $(-\infty,\infty),(-\infty,\frac{1}{2}),(\frac{1}{2},\infty),(-\infty,\frac{1}{4}),(\frac{1}{4},\frac{3}{4}),(\frac{3}{4},\infty)...$

No estoy muy seguro de lo que este tipo de secuencia se llama, pero si nos mosaico de esta forma, además de mostrar que podemos hacer esto para todos los números, tenemos un fresco estructura fractal.

Esto tiene un patán de similitud con lo que el problema se describe, y que ay que ser capaz de hacer lo mismo con la T. (excepto por el problema de que el T han cerrado intervalos...)

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