Prueba por inducción: $2^{n} < n!$

Question

Demostrar que $2^{n} < n!$ $\forall$ n > 4

$n=5:$ $$2^{5}<5!$$

$$32 < 120$$

Esto es cierto.

Ahora, después de saber que ha funcionado para $n$ tenemos que demostrar que funciona para todos los demás, así que $n+1$ :

$$2^{n+1} < (n+1)!$$

$$2^{n} < \frac{(n+1)!}{2}$$

Sabemos desde el principio que $2^{n} < n!$

Así que lo reemplazamos con él aquí y luego mostramos:

$$n! < \frac{(n+1)!}{2}$$

$$n! < \frac{n!\cdot(n+1)}{2}$$

$$1<\frac{n+1}{2}$$

Tarea decir para todos $n > 4$ por lo que lo de la derecha será realmente mayor que $1$ .

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Espero que todo esté bien.

Editar: El enlace de posible duplicidad no me ayudó porque realmente no estoy buscando una solución a la tarea. Estoy más bien interesado en saber si MI prueba es correcta.

Answer 1

Simplemente observaría que para un tamaño suficientemente grande $n$ , $2$ < $n$ + $1$ . Entonces, por inducción, cuando $2^n$ < $n$ !, $2^n$ ${\times}$ $2$ < $n$ ¡! ${\times}$ $2$ y $n$ ¡! ${\times}$ $2$ < $n$ ¡! ${\times}$ $n + 1$ por lo que por transitividad $2^n$ ${\times}$ $2$ < $n$ ¡! ${\times}$ $n + 1$ .

Answer 2

Sugerencia :

$$4<n\implies2^{n+1}=2^n\cdot2<n!\cdot2<(n+1)!$$

Answer 3

Sus resultados son efectivamente correctos. Lo único es que, sean cuales sean los pasos que hayas escrito, síguelos en orden inverso, es decir, escribe primero el último paso y así sucesivamente. Entonces, la prueba será una prueba inductiva bien escrita. (Y es una estrategia bastante buena para demostrar resultados, ¿no?)

Answer 4

Una prueba precisa es la siguiente:

Para 4 ≤ n que tenemos: $2$ < $n$ + $1$ . Ahora usando esto y por inducción, asumiendo $2^n$ < $n$ ! simplemente podemos obtener:

$2{\times}$$ 2^n $< $ (n + 1) $ $ { \times } $ $ n $! or $ 2^{n+1} $$< (n+1)$ ¡!

El argumento anterior sólo se basa en este hecho básico de que si a > b y c > d entonces a × c > b × d para todos los enteros positivos. Nótese que esto es cierto para 4 ≤ n .

Answer 5

Además de mi solución, debo señalar que hay un grave error de base en tu prueba. Tenga en cuenta que NUNCA se puede utilizar esta fórmula $2^{n+1} < (n+1)!$ en cualquier paso de su procedimiento de demostración (por inducción), ya que debería obtenerse simplemente como consecuencia final. Como he mostrado en la solución, debemos empezar necesariamente con las suposiciones iniciales que son: $2^4$ < $4$ Y $2$ < $n$ + $1$ (lo cual es cierto para n ≥ 4).

Ahora como se ve en la solución, por inducción suponiendo $2^n$ < $n$ !, podemos conseguirlo directamente:

$2^{n+1} < (n+1)!$

como requisito principal. En general, existe un procedimiento similar en cualquier prueba por inducción.