Hallar la cifra 1000 de $N=61218243036\ldots$

Question

Si todos los múltiplos de 6 se escriben uno al lado del otro, entonces un número entero grande $N$ se genera del siguiente modo:

$$N=61218243036\ldots$$

La cuestión es encontrar el $1000$ dígito de $N$ . Por favor, simplemente denme una pista de cómo puedo proceder. He calculado la respuesta mediante conteo por fuerza bruta (con ayuda de un ordenador), pero busco algo más elegante.

Answer 1

Existen $10^{k}-10^{k-1}=3(3 \times 10^{k-1})=6 (15 \times 10^{k-2})$ números con $k$ dígitos. Por lo tanto, para $k \geq 2$ hay $15 \times 10^{k-2}$ múltiplos de $6$ con $k$ dígitos.

Así que la parte de $N$ que utiliza todos los múltiplos de $6$ con un máximo de $m$ dígitos tendrá una longitud $1 + \sum_{k=2}^m k(15 \times 10^{k-2})=1 + 15(\sum_{k=0}^{m-2} (k+2) 10^k)$ que, después de un poco de álgebra es igual a $\frac{10^m(9m-1) - 26}{54}$ .

Ahora, puede encontrar explícitamente el mayor $m$ tal que esta expresión sea menor que $1000$ y trabajar a partir de ahí...

Answer 2

Sólo hay 1 múltiplo de 6 con un dígito. Hay [100/6 - 1] = 15 múltiplos de 6 con dos cifras: luego 30 cifras. Hay [1000/6 - 15 - 1] = 150 múltiplos de 6 con tres cifras: entonces 450 cifras.

En este punto, hemos contado los primeros 1 + 30 + 450 = 481 dígitos de N. Quedan otros 1000 - 481 = 519 dígitos. Los primeros 516 de ellos están incluidos en los siguientes 516/4 = 129 múltiplos de 6, que tienen los cuatro dígitos.

Así, hemos contado un total de 1 + 15 + 150 + 129 = 295 múltiplos de 6, y quedan tres dígitos para llegar al 1000º dígito de N. Por tanto, el 1000º dígito de N es el tercer dígito del 296º múltiplo de 6. Como 296 * 6 = 1776, el dígito es 7.