Dado cualquier infinita ordinal $\kappa$, independientemente de cualquier supuestos adicionales para ZF (ni siquiera elección!) podemos linealmente orden de $\mathcal P(\kappa)$:
$$A\prec B\iff \min(A\Delta B)\in A$$
No es difícil ver que este es un orden lineal. Vale la pena señalar que es denso, cualquier conjunto que contenga $0$ será menor de lo $\{0\}$. De hecho, los únicos son densos en este orden lineal, y entre los dos conjuntos hay $\kappa$ muchos otros. Esto es algo similar a $\mathbb R$, pero incluso para los más grandes cardinalidades.
Es posible que desee leer Justin Moore papel:
Moore, Una de los cinco elementos de base para las incontables lineal órdenes, Anales de Matemáticas (2) 163 (2006), n 2, pp 669--688.
acerca de la coherencia lineal de orden en ZFC (+grandes cardenales). Podría ser una buena plataforma para el tema, incluyendo las referencias. De hecho, su página de inicio de la publicación de la lista tiene varios papeles sobre lineales de orden.
Entre el $\mathbb Q$ $\mathbb Z$ hay muchos que no isomorfos órdenes, pero todos ellos son contables de los pedidos así que tienen que mirar un poco como $\mathbb Z$$\mathbb Q$, es decir, dividido en intervalos (con o sin extremos) de la orden escriba $\mathbb Z$ (o $\mathbb N$); puntos aislados; y $\mathbb Q$.
Entre el $\mathbb Q$ $\mathbb R$ por supuesto, hay muchos muchos órdenes, y que dependen en gran medida de la hipótesis continua. Si $\mathbb R$ tiene el tamaño de $\aleph_2$, entonces podemos encontrar un orden lineal de tamaño $\aleph_1$ dentro de los números reales y utilizarlo para construir un nuevo orden usando el mismo truco que con $\mathbb Q$$\mathbb Z$; por supuesto, si la continuidad es incluso más grande que podemos encontrar aún más de estos ordenamientos.
Independientemente de eso, sin embargo, hay tipos de orden de la continuidad, que no son bi-integrable con $\mathbb R$. Por ejemplo,$\omega_1^\ast+\omega_1$; Sierpinski se ha definido de tal orden lineal; hay uno más por Specker, creo. Todos aquellos que no pueden ser incorporados en otro, y todos de tamaño continuum (si $\mathbb R$ tiene un mayor cardinalidad, reemplace $\omega_1$ por el adecuado ordinal, por supuesto).
También puede ser que desee para localizar Sela del papel que el índice Sh:100
Sela, la Independencia de los resultados, J de la Lógica Simbólica 45 (1980) 563-573.
Tiene un poco de coherencia de los resultados con respecto a la existencia de la linealidad de la orden de tamaño de $\aleph_1$.
Probablemente debería añadir una palabra en la línea de Suslin: este es un c.c.c. espacio que no es separable. Asumiendo $V=L$ tal orden lineal existe y es de tamaño continuo, pero es consistente con ZFC que no Suslin línea existe.
