El Villarceau los círculos pueden ser parametrizadas por
$$\vec{x}=\left(\begin{array}{ccc}
\cos\phi & \sin\phi & \\
-\sin\phi & \cos\phi & \\
&&1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\rho\sin\theta\\
r+R\cos\theta\\
r\sin\theta
\end{array}
\right)\;,
$$
donde $\theta$ es el ángulo a lo largo del círculo, $\phi$ es la orientación del círculo alrededor de la $z$-eje y $\rho=\sqrt{R^2-r^2}$. En $\phi=0$, los derivados con respecto a $\theta$ $\phi$
$$\frac{\partial\vec{x}}{\partial\theta}=
\left(
\begin{array}{c}
\rho\cos\theta\\
-R\sin\theta\\
r\cos\theta
\end{array}
\right)\;,
\;\;\;
\frac{\partial\vec{x}}{\partial\phi}=
\left(
\begin{array}{c}
r+R\cos\theta\\
-\rho\sin\theta\\
0
\end{array}
\right)\;.
$$
Queremos saber donde cambiar $\phi$ será menos eficaz en conseguir que nos aleja del círculo. Esto se determina por un lado, por la magnitud de la derivada con respecto al $\phi$ y en el otro lado del ángulo entre los dos derivados; la velocidad a la que nos alejamos de el círculo de la cambiamos $\phi$ es el producto de la magnitud y el seno del ángulo a:
$$
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm ds}{\mathrm d\phi}
&=&
\left|\frac{\partial\vec{x}}{\partial\phi}\right|
\sqrt{1-\left(\frac{\frac{\partial\vec{x}}{\partial\phi}\cdot\frac{\partial\vec{x}}{\partial\theta}}{\left|\frac{\partial\vec{x}}{\partial\phi}\right|\left|\frac{\partial\vec{x}}{\partial\theta}\right|}\right)^2}
\\
&=&
\sqrt{\left|\frac{\partial\vec{x}}{\partial\phi}\right|^2-\left(\frac{\frac{\partial\vec{x}}{\partial\phi}\cdot\frac{\partial\vec{x}}{\partial\theta}}{\left|\frac{\partial\vec{x}}{\partial\theta}\right|}\right)^2}
\\
&=&
\sqrt{(r+R\cos\theta)^2+\rho^2\sin^2\theta-\left(\rho(r\cos\theta+R)/R\right)^2}\;.
\end{eqnarray}
$$
Tenemos que encontrar el mínimo de esta expresión con respecto a $\theta$. Configuración de la derivada del radicando con respecto a $\cos\theta$ a cero de los rendimientos
$$R(r+R\cos\theta)-\rho^2\cos\theta-r\rho^2(r\cos\theta+R)/R^2=0\;,$$
que se simplifica a
$$\cos\theta=-\frac{R}{r}\;.$$
Desde $R> r$, esto no tiene solución, por lo que los extremos se producen en la frontera en $\cos\theta=\pm1$. En estos puntos, $|\partial\vec{x}/\partial\theta|$ es paralelo a la proyección de $|\partial\vec{x}/\partial\phi|$ en el plano de corte, por lo que el resultado es el mismo que habría sido obtenido mediante el ángulo entre el $|\partial\vec{x}/\partial\phi|$ y el avión en su lugar:
$$
\frac{\mathrm ds}{\mathrm d\phi}=(R\pm r)\frac{r}{R}\;\;\text{para}\;\;\cos\theta=\pm1\;.
$$
El factor de $R\pm r$$|\partial\vec{x}/\partial\phi|$, y el factor de $r/R$ es el seno del ángulo entre el $\partial\vec{x}/\partial\phi$ y el avión. El menor de ellos es el interior de uno en $\cos\theta=-1$, y el ángulo que debe girar para hacer dos tori con menores radios $r'$ ajuste es así (de primer orden para $r'\ll r$)
$$\Delta\phi=\frac{2r'}{\mathrm ds/\mathrm d\phi}=\frac{2r'R}{(R-r)r}\;.$$
