Este es un ejercicio de Mendelson Introducción a la Topología, página 101.
TEOREMA de
Para cada una de las $n\in \Bbb N$, vamos a $X_n$ ser discreto con los dos puntos espacio topológico $\{0,2\}$. Definir el espacio del producto $X=\prod\limits_{n\in \mathbb N}X_n\;$. Deje $f:X\to [0,1]$ se define como
$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{x(n)}{3^n}$$
A continuación, $f$ es uno-uno y continuo.
PRUEBA (Revisado)
Podemos probar, primero, $f$ es uno-uno. Para ello, supongamos que tenemos $$\sum_{k\geqslant 1}\frac{x_n}{3^n}=0$$ with $x_n\en\{0,-2,2\}$. I claim first there cannot be any $K$ with $x_K=-2$. Indeed, let $K$ be the least index with $x_K=-2$. I claim that $x_k=0$ if $k<K$. Indeed, because $$ - \sum\limits_{k = K}^\infty {\frac{2}{{{3^k}}}} = - \frac{1}{{{3^K}}}\sum\limits_{k = K}^\infty {\frac{2}{{{3^{k - K}}}}} = - \frac{2}{{{3^K}}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{1}{{{3^k}}}} = - \frac{1}{{{3^K}}}$$
no hay forma que la suma sería igual a cero si algunos de $x_k$ $k<K$ fue distinto de cero. Pero con esto fuera del camino, es imposible que la suma es cero. Por la misma razón, en el caso extremo tenemos a $$ - \frac{2}{{{3^K}}} + \sum\limits_{k = K + 1}^\infty {\frac{2}{{{3^k}}}} = - \frac{2}{{{3^K}}} + \frac{1}{{{3^{K + 1}}}} < 0$$
Esto significa que no puede existir $k$$x_K=-2$. Por lo tanto $x_k\in \{0,2\}$. Ya que la suma es cero, todos los términos no negativos debe ser cero, así que la secuencia es idéntica a cero.
Ahora podemos probar a $f$ es continua. Deje $a\in X$ $\epsilon >0$ ser dado. El reclamo es que, dada la abierta balón $B(f(a);\epsilon)$, se puede elegir $k$, de modo que
$$\tag 1 P_k=\bigcap_{i=1}^k p_i^{-1}(a(i))\subset f^{-1}(B)$$
donde $p_i:X\to \{0,2\}$ es la proyección a la $i$th de coordenadas. Desde $f$ es uno a uno, $(1)$ es el mismo que
$$f(P_k)\subset B$$
Tenga en cuenta que para cualquier punto de $x\in P_k$, la diferencia de $|f(x)-f(a)|$ es en la mayoría de las $3^{-k}$, precisamente cuando la $x(n)=2$ $a(n)=0$ $n\geq k+1$ (o viceversa):
$$\sum\limits_{n = k + 1}^{ + \infty } {\frac{2}{{{3^n}}}} = \frac{1}{{{3^k}}}$$
Por lo tanto podemos optar $k$ tal que $3^{-k}<\epsilon$. Lo que se deduce que $f(P_k)\subset B$, e $f$ será continua.
