¿Cómo pretende Liu que sus lectores calculen $H^0(X,\Omega^1_{X/k})$ de este plan?

Question

En el capítulo sobre la teoría de la dualidad de la obra de Liu Geometría algebraica y curvas aritméticas , está el siguiente ejercicio. Me cuesta ver cómo se puede aplicar la teoría de la dualidad desarrollada en Liu para resolverlo.

$4.2$ . Sea $k$ sea un campo, y que $F=x^n+y^n+z^n\in k[x,y,z]$ , donde $n\ge 1$ es primordial para $\operatorname{char}(k)$ . Determine $H^0(X,\Omega^1_{X/k})$ para $X=V_+(F)\subset \mathbb P^2_k$ .

El capítulo anterior era muy teórico, y tengo problemas para entender cómo aplicar la teoría para hacer cálculos reales. En particular, contiene un montón de lemas de dualidad y no estoy seguro de cuál aplicar realmente. Para ser sincero, no lo entiendo muy bien, y esperaba que hacer algo concreto con ello me ayudara.

Tengo entendido que hay muchas formas diferentes de calcular los grupos de cohomología. Me gustaría hacerlo utilizando las herramientas desarrolladas hasta ahora por Liu. En particular, él no habla de las secuencias de Euler como lo hace Hartshorne. (Es posible que son en el libro disfrazado, pero no los veo. Por favor, corríjanme si este es el caso). También agradecería cualquier sugerencia sobre formas elementales de utilizar la dualidad para calcular este grupo de cohomología. Gracias.

(La teoría de cohomología que utiliza Liu es la cohomología de Cech).

Editar. La respuesta siguiente esboza una forma sencilla de hacerlo sin ninguna dualidad. Mi pregunta es ahora la siguiente: ¿Qué hace esta pregunta en un capítulo sobre la dualidad? ¿Un argumento de dualidad lo hace aún más fácil?

Editar 2. Creo que ahora veo lo que se pretendía. Una vez debe usar el Corolario $4.14$ y proceder como en los siguientes ejemplos. La observación clave aquí es que basta con calcular la gavilla canónica $\omega_{X/k}$ ya que la gavilla canónica es isomorfa a $\Omega^1_{X/k}$ en esta situación. Corolario $4.14$ a continuación, ofrece las herramientas necesarias para calcular $\omega_{X/k}$ . Pensar en términos de dualidad era un enfoque equivocado.

Answer 1

$H^0$ es sólo secciones globales, por lo que te está pidiendo que describas el módulo de formas diferenciales definidas globalmente en tu curva $X$ .

• Encontrar una cobertura abierta por conjuntos abiertos afines de la curva, y encontrar el anillo de coordenadas de esos conjuntos

• En cada uno de ellos, encontrar una presentación del módulo de diferenciales de Kähler.

• Por último, ver qué diferenciales sobre esos conjuntos abiertos se extienden al conjunto.

Answer 2

1) Olvídate de la cohomología: $H^0(X,\Omega^1_{X/k})$ sólo significa $\Omega^1_{X/k}(X)$ el espacio vectorial de las secciones globales de la gavilla $\Omega^1_{X/k}$ .

2) Olvídate de la dualidad, que no tiene nada que ver con el ejercicio.
El ejercicio está probablemente unido a la sección 6.4.2, dedicada a la gavilla canónica.

3) La curva $X$ es suave ya que $n$ no es divisible por $\text {char} (k)$ .
Como tiene grado $n$ su género es $g=\frac {(n-1)(n-2)}{2}$ .
Y así la dimensión de la $k$ -espacio vectorial $H^0(X,\Omega^1_{X/k})$ es $g=\frac {(n-1)(n-2)}{2}$ y esta es una posible solución al ejercicio.

Aviso:
Como no he leído sistemáticamente este gran libro, sino que sólo lo he consultado, no estoy seguro de qué solución tenía en mente el autor (tal vez quiere que su lector utilice el teorema 4.9 (a), la fórmula de la adjunción, que también proporcionaría una solución)
Sin embargo, garantizo la corrección de la fórmula que he descrito en el punto 3) .