Creo que es más fácil asumir que la proposición es falsa en ambas direcciones para obtener una contradicción.
En primer lugar, supongamos que los $X$ es Lindelöf pero hay una colección de $\mathcal{A}$ de los subconjuntos de a $X$ con el contable de la intersección de la propiedad de tal manera que $\bigcap_{A\in \mathcal{A}}\bar{A}=\emptyset$. A continuación, la colección de $\mathcal{O}=\{X\setminus\bar{A}:A\in\mathcal{A}\}$ es una cubierta abierta de a $X$. Si se sigue que hay una contables subcover $\mathcal{O}'=\{X\setminus\bar{A_1}, X\setminus\bar{A_2},\ldots\}$, $X=\bigcup_{n=1}^\infty X\setminus\bar{A_n}$.
Pero esto implica que
$$
\emptyset=X\setminus \bigcup_{n=1}^\infty X\setminus\bar{A_n}=\bigcap_{n=1}^\infty \bar{A_n}
$$
Puesto que para cada entero positivo, $A_n\subset \bar{A_n}$,$\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\emptyset$. Esto se contradice con que $\mathcal{A}$ tiene contables intersección de la propiedad.
A continuación, supongamos que $X$ ha declarado la propiedad, pero no es Lindelöf. Esto significa que hay una apertura de la tapa $\mathcal{O}$ tal de que no existe ninguna contables subcover. Considere la posibilidad de la colección de conjuntos cerrados $\mathcal{A}=\{X\setminus U:U\in\mathcal{O}\}$. Tenga en cuenta que esta colección ha contables de la intersección de la propiedad, para que si un contable de intersección de los elementos de la $\mathcal{A}$ está vacía, $\bigcap_{n=1}^\infty X\setminus U_n=\emptyset$, luego
$X=X\setminus \bigcap_{n=1}^\infty U_n=\bigcup_{n=1}^\infty U_n$ $\mathcal{O}$ tendría contables subcover. Si sigue, por supuesto, que $\bigcap_{A\in\mathcal{A}}\bar{A}=\bigcap_{A\in\mathcal{A}}A \neq \emptyset$ (la primera igualdad es debido a que cada conjunto en $\mathcal{A}$ es cerrado).Desde
$$X\setminus \bigcap_{A\in\mathcal{A}}A=X\setminus\bigcap_{U\in \mathcal{O}}(X\setminus U)=\bigcup_{U\in\mathcal{O}}U$$
Esto significa que $\mathcal{O}$ no es una tapa, una contradicción.
