Representación integral de la función Zeta

Question

¿Cómo se llega de este % $ $$\zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^s}$a la representación integral $$\zeta(s)=\frac1{\Gamma(s)}\int_{0}^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx$ $ de la función Zeta de Riemann?

Puedo ver que puede ser reescrita como

$$\Gamma(s)\zeta(s)=\int_{0}^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx$ $ y la función Gamma como un rendimiento integral

$$\zeta(s)\int_{0}^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x}dx=\int_{0}^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx$$

Pero este enfoque no funciona como el derecho integral de no converge. Entonces, ¿cómo uno va desde la adición a la representación integral?

Answer 1

Recordar que para $t>1$, $$\frac{1}{t-1}=\sum_{n=1}^\infty t^{-n}$ $

Entonces el substituto $t=e^{x}$ $x>0$.

Entonces sustituyendo $x=\frac{v}{n}$ en el término de XX $n$ de la integral, se obtiene:

$$\int_0^{\infty} x^{s-1}e^{-nx}\,dx=\frac{1}{n^s}\int_0^\infty v^{s-1}e^{-v}dv = \frac{1}{n^s}\Gamma(s)$$