Evaluar:
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\log(1+x^2) dx}{1+x^2}$$
Utilizando análisis complejo, integración de contornos.
Esta función no tiene ningún polo.
Prueba el contorno $C$
Obviamente,
$$\oint_{C} f(z) dz = 0$$
$$\oint_{C} f(z) dz = \int_{A} f(z) dz + \int_{-R}^{R} f(x) dx$$
$$\int_{-R}^{R} f(x) dx = -\int_{A} f(z) dz$$
A lo largo del semicírculo $A$ la parametrización es la parte del contorno:
$$z = Re^{i\theta}$$
$$\int_{A} f(z) dz = \int_{0}^{\pi} (iRe^{i\theta})\cdot \frac{\log(Re^{i\theta} + i) + \log(Re^{i\theta} - i)}{(Re^{i\theta} + i)(Re^{i\theta} - i)} d\theta$$
$$\int_{-R}^{R} f(x) dx = (-)\cdot\int_{0}^{\pi} (iRe^{i\theta})\cdot \frac{\log(Re^{i\theta} + i) + \log(Re^{i\theta} - i)}{(Re^{i\theta} + i)(Re^{i\theta} - i)} d\theta$$
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = (-)\cdot \lim_{R \to \infty} \int_{0}^{\pi} (iRe^{i\theta})\cdot \frac{\log(Re^{i\theta} + i) + \log(Re^{i\theta} - i)}{(Re^{i\theta} + i)(Re^{i\theta} - i)} d\theta$$
Digamos que podemos aplicar el teorema de convergencia dominada. Podemos entonces tomar el límite DENTRO de la integral en el lado derecho. El problema se convierte en:
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = (-i)\cdot \int_{0}^{\pi} \lim_{R \to \infty} (Re^{i\theta})\cdot \frac{\log(Re^{i\theta} + i) + \log(Re^{i\theta} - i)}{(Re^{i\theta} + i)(Re^{i\theta} - i)} d\theta$$
Wolframalpha lo devuelve como $0$ que está mal. ¿Cuál es el problema? La respuesta es:
$$I = -\pi\log(\sqrt{2})$$
Por favor, dígame qué es lo que falla, no sugiera otra cosa hasta el final. Gracias.
