trisección y triángulo

Question

Este es el problema 1.9.5 de la Geometría revisada por Coxeter y Greitzer: Si dos líneas a través de un vértice de un triángulo equilátero de dividir el semicírculo atraídos hacia afuera en el lado opuesto en tres arcos iguales, estas mismas líneas de dividir el lado de sí mismo en tres de la igualdad de los segmentos de línea.

Se me ocurrió la siguiente solución (haga clic para agrandar la imagen si la impresión es demasiado pequeño), pero me siento como que he hecho es más complicado de lo que debe ser. Preguntando si alguien puede mostrar cómo simplificar la respuesta?

Answer 1

Ver la imagen de abajo:

Tenga en cuenta que: $$\triangle AB'F \sim \triangle ABJ_1 \quad (1)$ $ $$\triangle AFG \sim \triangle AJ_1K_1 \quad (2)$ #% $ %#% $ como triángulos $$\triangle AGC' \sim \triangle AK_1C \quad (3)$, $\triangle ABJ_1$, $\triangle AJ_1K_1$ parte común lados y triángulos $\triangle AK_1C$, $\triangle AB'F$ y $\triangle AFG$, el % de ratio de similitud $\triangle AGC'$es el mismo para $k$, $(1)$ y $(2)$. De esta manera tenemos: $(3)$ $ $$BJ_1=k\,B'F = k \, r$ $ $$J_1K_1=k\,FG = k \, r$ $

Por lo tanto

$$K_1C=k\,GC = k \, r$$