Explico a continuación un algoritmo de construcción que logra el único
la solución al problema cuando se agrega la restricción más
que todas las consecutivas $p$-sumas de ser igual a $+1$ y todos los consecutivos
$q$-sumas iguales a $-1$. El algoritmo es bastante simple (aunque el
los detalles son un poco desordenado para escribir), se utiliza la distancia Euclídea
algoritmo y que recuerda el conjunto de Cantor de la construcción. No sé
si una solución más simple que existe.
Como usted sugiere, supongamos ${\sf gcd}(p,q)=1$. Podemos suponer sin pérdida de ese $p<q$. Si se aplica el algoritmo de Euclides para los enteros $p$ y
$q$, se puede obtener un aumento de la secuencia de $c_0=0<c_1=1<c_2<c_3< \ldots <c_{m-1}=p<c_m=q$ tal que para cada
$i$, $c_{i+1}$ es congruente a $c_{i-1}$ modulo $c_i$. Nosotros llamamos a estas
las secuencias de $C$-secuencias. El caso de $p=1$ es trivial, por lo que podemos suponer
$m\geq 3$. Para cualquier enteros positivos $i,j$, denotan por
$\rho_i(j)$ el número entero único en $\lbrace 1,2, \ldots ,i\rbrace$
eso es congruente a $j$ modulo $i$. También, definir una equivalencia
relación $\sim_i$ en enteros dejando $x \sim_i y$ iff los dos
los números de $x$ $y$ son iguales a $i$ o ambos no
igual a $i$.
Fundamental lema Deje $c_0=0<c_1=1<c_2<\ldots <c_m$ ser un
$C$-secuencia con $m\geq 3$. Entonces, para cualquier $x\in[1,c_{m-1}-2]$ hemos
$$
\rho_{c_2}\rho_{c_3}\ldots \rho_{c_{m-2}}\rho_{c_{m-1}}(x)
\sim_{c_2} \rho_{c_2}\rho_{c_3}\ldots \rho_{c_{m-2}}\rho_{c_{m-1}}(x+c_m) \etiqueta{1}
$$
Prueba de fundamental lema Por inducción en $m$. Al $m=3$, (1) se reduce
a $ (**) : \rho_{c_2}(x) \sim_{c_2} \rho_{c_2}(x+c_3)$. Desde $x\in [1,c_{2}-2]$, tenemos
$\rho_{c_2}(x)=x$, de modo que (**) es equivalente a
$$\rho_{c_2}(x+c_3)\neq c_2 \Leftrightarrow c_2\no| x+c_3
\Leftrightarrow c_2\no| x+c_1 \Leftrightarrow c_2\no| x+1 \etiqueta{2}$$
y el de más a la derecha condición es cierto desde $x+1\in[2,c_{2}-1]$.
Siguiente, supongamos que $m\geq 4$ y que el lema es cierto a nivel de $m-1$. Vamos
$c_0=0<c_1<c_2<\ldots <c_m$ $C$- secuencia y deje $x\in[1,c_{m-1}-2]$. Por hipótesis,
hay un número entero $a$$c_m=ac_{m-1}+c_{m-2}$, por lo que para mostrar (1)
suficiente para mostrar la siguiente :
$$
\rho_{c_2}\rho_{c_3}\ldots \rho_{c_{m-2}}\rho_{c_{m-1}}(x)
\sim_{c_1} \rho_{c_2}\rho_{c_3}\ldots \rho_{c_{m-2}}\rho_{c_{m-1}}(x+c_{m-2}) \etiqueta{3}
$$
Tenga en cuenta que $\rho_{c_{m-1}}(x)=x$. Si $x \leq c_{m-1}-c_{m-2}$, luego tenemos
$\rho_{c_{m-1}}(x+c_{m-2})=x+c_{m-2}$, por lo que
$\rho_{c_{m-2}}\rho_{c_{m-1}}(x)=\rho_{c_{m-2}}\rho_{c_{m-1}}(x+c_{m-2})$, y vemos
que los dos números en (3) son iguales. Por consiguiente, se puede suponer que $x>c_{m-1}-c_{m-2}$ ;
en ese caso, $y=x-(c_{m-1}-c_{m-2})$ satisface $y\in[1,c_{m-2}-2]$, y (3)
puede ser simplificado a
$$
\rho_{c_1}\rho_{c_2}\ldots \rho_{c_{m-2}}(y+c_{m-1}-c_{m-2})
\sim_{c_1} \rho_{c_1}\rho_{c_2}\ldots \rho_{c_{m-2}}(y) \etiqueta{4}
$$
Pero $\rho_{c_{m-2}}(y+c_{m-1}-c_{m-2})=\rho_{c_{m-2}}(y+c_{m-1})$, de modo que (4)
se sigue de la hipótesis de inducción a nivel de $m-1$. Esto concluye la prueba
el lema por inducción.
Una vez que tenemos nuestro lema, decir que un entero $x\in [1,p+q-2]$ es bueno si
$\rho_{c_2}\ldots \rho_{c_{m-2}}\rho_{c_{m-1}}(x) =c_2$. Decir que
$x$ es mala, si no es buena. El lema, a continuación, muestra que si dos números en el intervalo de $I=[1,p+q-2]$ son congruentes
modulo $p$ o $q$, entonces ambos son malos o ambos buenos. De ello se sigue que cualquier vaivén $x\in[0,p+q-2]$, todos los
subintervalos de longitud $x$ $I$ contienen el mismo número de elementos positivos (llamada
$g(x)$). Sigue del lema fundamental que
$$
g(qc_i+r)=qg(c_i)+g(r) \ \text{siempre} 0\leq r<c_i, qc_i+r\leq c_{i+1}. \etiqueta{5}
$$
Deje $i\geq 2$. Hay un número entero $a_i$ tal que $c_i=a_ic_{i-1}+c_{i-2}$. Por (5) tenemos
$g(c_i)=a_ig(c_{i-1})+g(c_{i-2})$, y por lo tanto
$$
c_{i-1}g(c_i)-c_ig(c_{i-1})=-(c_{i-2}g(c_{i-1})-c_{i-1}g(c_{i-2})) \etiqueta{6}
$$
En otras palabras $\delta_{i+1}=-\delta_i$ donde $\delta_i=c_{i-1}g(c_i)-c_ig(c_{i-1})$.
Como $\delta_2=1$ deducimos $\delta_i=(-1)^i$. A continuación, defina una
secuencia $(a_1,a_2,\ldots,a_{p+q-2})$ por
$$
a_{x}=\left\lbrace\begin{array}{lcl}
\frac{p+q-(g(p)+g(q))}{qg(p)-pg(q)}=\frac{p+q-(g(p)+g(q))}{(-1)^{m+1}} & \rm if & x \ \text{is good} \\
-\frac{g(p)+g(q)}{qg(p)-pg(q)}=\frac{g(p)+g(q)}{(-1)^m} & \rm if & x \ \text{is bad}
\end{array}\right. \etiqueta{7}
$$
Esta secuencia tiene la propiedad de que la suma de las sucesivas $p$ elementos es $1$,
y la suma de las sucesivas $q$ elementos es $-1$.
