¿Existen campos gauge que no sean de 4 vectores?

Question

A mi entender, los campos gauge son campos que tienen algún tipo de redundancia, es decir, una transformación que no cambia el estado físico. Por lo que veo, todos los campos gauge del modelo estándar tienen representaciones de 4 vectores.

¿Existen campos gauge que no sean de 4 vectores? ¿Quizá incluso campos con una representación de menor dimensión?

Answer 1

Ahora mismo, no tengo ni idea de lo que quieres decir con campos gauge, o de lo que nadie quiere decir con campos gauge. Según Danu, el campo gauge es la conexión en sí, mientras que si no recuerdo mal, Bleecker define los campos gauge como secciones de aquellos haces vectoriales que están asociados a haces principales.

Sin embargo, creo que puedo dar una respuesta definitiva a la cuestión de la redundancia, a la que usted alude en sus comentarios.

En las teorías gauge (y esa será mi definición de campo gauge), normalmente tienes algún tipo de campos que se definen a través del espaciotiempo, pero que no son campos tensoriales reales, según la definición habitual de geometría diferencial de los campos tensoriales.

En su lugar, tienes una especie de espacio vectorial $E$ y copias separadas de $E$ para cada punto del espaciotiempo, por ejemplo, si $p$ es un punto del espaciotiempo, $E_p$ es una copia separada de $E$ que está "situado en" $p$ .

Estos $E_p$ Los espacios están encadenados de tal manera que todos son idénticos, pero no se puede saber qué elemento de un espacio corresponde al de otro. Por ejemplo, si $v\in E_p$ y $w\in E_q$ no tienes una forma canónica de decir que $w$ es lo mismo que $v$ (a menos que hablemos de los vectores nulos). Esta estructura se denomina haz vectorial.

La redundancia es que, como es habitual en física, tendemos a usar componentes para describir cosas, así que si $\psi(p)$ es una sección del haz vectorial, por ejemplo, es un campo que corresponde a un punto $p$ un elemento de $E_p$ y $e_A(p)$ es un campo base local del haz vectorial, entonces se puede descomponer $\psi$ como $$ \psi(p)=\psi^A(p)e_A(p), $$ donde el índice $A$ suele denominarse "índice interno" (y su rango no tiene por qué coincidir con la dimensión del múltiple espaciotemporal).

Ahora, lo que importa es $\psi$ y no los componentes de $\psi$ así que si cambias de base $e_A(p)\mapsto g_A(p)=M^B_{\ \ A}(p)e_B(p)$ para alguna matriz invertible $M$ los nuevos componentes $\tilde{\psi}^A(p)=(M^{-1})^A_{\ \ B}(p)\psi^B(p)$ describirá la misma física que los componentes antiguos.

Como suele ocurrir, se impone alguna estructura adicional al $E_p$ s, que seleccionan algunas bases preferidas, como si hubiera un sentido de "ortonormalidad" en cada $E_p$ y sólo se desea utilizar "bases ortonormales", por lo que normalmente las matrices $M$ no son simplemente matrices invertibles, sino que son elementos de algún grupo más restrictivo, pero la cuestión sigue siendo que existen bases físicamente equivalentes que se intercambian por elementos de un grupo de Lie. Valga la redundancia.

En este sentido, ninguno de los campos gauge son 4-vectores, a menos que el haz vectorial interno sea el propio haz tangente. Lo cual es cierto en relatividad general, PERO en RG no tenemos ningún campo vectorial dinámico en la teoría.

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Si por campos gauge entendemos las formas de conexión, se trata de 1-formas locales valoradas en álgebras de Lie $A_\mu^i$ (donde $i$ es un índice de Lie-agebra). Estos objetos son siempre 1-formas con valor de álgebra de Lie, por lo tanto, mientras el espaciotiempo sea de 4 dimensiones, siempre serán (con valor de álgebra de Lie) "4-vectores covariantes".

Espero que sea por esto por lo que tenía curiosidad, ya que me cuesta entender su pregunta.

Answer 2

Si el gravitón existe no es un 4 vector, sino un tensor.

Answer 3

Bueno, el punto principal es que Teoría Yang-Mills es sólo uno de los muchos teorías gauge cf. por ejemplo este Puesto de Phys.SE. Ej. SUGRA es una teoría gauge. De hecho, teóricamente existen teorías gauge relativistas con campos gauge que se transforman en prácticamente cualquier representación posible del grupo de Lorentz. Que se hagan realidad en la Naturaleza es otra historia.