Débil-* continuidad del adjunto mapa en un $W^*$-álgebra

Question

Deje $\mathcal{M}$ $W^*$- álgebra, es decir, un $C^*$-álgebra con un espacio de Banach predual $\mathcal{M}_*$. Estoy tratando de demostrar que el medico adjunto mapa de $x \mapsto x^*$ $\mathcal{M}$ es débil-* (aka $\sigma$-débilmente) continuo.

Capítulo 1.7 de Sakai s $C^*$-Álgebra y $W^*$-Álgebras comienza por demostrando que el real lineal subespacio $\mathcal{M}^s$ de auto-adjuntos de los elementos es débil-* cerrado. Más tarde (en 1.7.2 así como 1.7.8) afirma que esto, más el hecho de que $\mathcal{M}^s \cap i \mathcal{M}^s = \{0\}$$\mathcal{M}^s + i \mathcal{M}^s = \mathcal{M}$, implica que el medico adjunto mapa es débil-* continua. Me temo que no acabo de seguir.

• Sabemos que $\mathcal{M}$ es el algebraicas suma directa de los débiles-* cerrado, real-lineal subespacios $\mathcal{M}^s$$i \mathcal{M}^s$. Sin embargo, no todos los algebraica es un complemento topológico. No sé de muchas condiciones suficientes para algebraicas complementa automáticamente topológico. Uno es que el espacio en cuestión se Fréchet, pero si $\mathcal{M}_*$ es de dimensiones infinitas, a continuación, $\mathcal{M}$ no puede ser débil-* Fréchet.
• La restricción en el mapa adjunto a la unidad de la bola de $\mathcal{M}$ es continua: Si $x_\nu + i y_\nu \to x+iy$ es una red convergente en la unidad de la bola con $x,y,x_\nu, y_\nu$ auto-adjunto, a continuación, $x_\nu, y_\nu, x, y$ también están en la unidad de la pelota; dado cualquier subred, no existe (por Alaoglu) un sub-subred para la que $x_\nu$ converge débil-* para algunos $\tilde{x}$ en la unidad de la bola, y una sub-sub-subred para la que $y_\nu$ también converge débil-* para algunos $\tilde{y}$ en la unidad de la bola. (Yo estoy usando la misma notación para todas las subredes en lugar de escribir cosas como $x_{\nu_{\mu_{\eta_\zeta}}}$.) Debido a $\mathcal{M}^s$ es débil-* cerrado, se sigue que $\tilde{x}$ $\tilde{y}$ son auto-adjunto, y desde la sub-sub-subred $x_\nu + i y_\nu$ converge a ambos $x+iy$$\tilde{x} + i\tilde{y}$, se deduce que el $\tilde{x} = x$$\tilde{y} = y$. Entonces (para este mismo sub-sub-subred) uno ha $x_\nu - i y_\nu \to x-iy$. Ya que cada subred de $x_\nu - i y_\nu$ tiene más de subred de la convergencia a la $x-iy$,$x_\nu - i y_\nu \to x-iy$.
• No estoy seguro de cómo terminar teniendo en cuenta las observaciones sobre la unidad de la bola. Dada una débil-* convergente neto $m_\nu \to 0$, lo anterior de inmediato implican $m_\nu^* \to 0$ débil-* así que si hemos hecho la suposición adicional de que la red $m_\nu$ finalmente es limitada...pero no todos débil-* convergente de redes. O, por cualquier débil-* cerrado convexo conjunto $F \subset \mathcal{M}$, vamos a $F_r$ el valor de la intersección de las $F$ con la bola de radio $r$, y a continuación, obtener ese $F_r^*$ es débil-* cerrado; por Krein-Smulyan, se deduce que el $F^*$ es débil-* cerrado. Sin embargo, la mayoría de los conjuntos cerrados no son convexos.

Por supuesto, un enfoque sería (sin el uso de la continuidad de la adjuntos) desarrollar la teoría de la $W^*$-álgebras lo suficiente como para conseguir un teorema de representación, a continuación, utilizar la ultraweak la continuidad de la adjoint mapa en $B(H)$. Me gustaría mucho más tener algo más directo, aunque! Tengo la sensación de que estoy con vistas a algo que es obvio.

Answer 1

Como se sospecha, la descomposición, el $\mathcal{M} = \mathcal{M}^s + i\mathcal{M}^s$ es de hecho topológico, y esto es lo que Sakai probablemente pretende que "recall" (o, averiguar, supongo) cuando escribe que.

Deje $\Phi: \mathcal{M} \to \mathcal{M}$ denotar el mapa de $x \mapsto (x + x^*)/2$ (tenga en cuenta que $\Phi$ es una proyección de $\mathcal{M}$ a $\mathcal{M}^s$ a lo largo de $i \mathcal{M}^s$).

Para mostrar que $\Phi$ $\sigma$- débilmente continua, es suficiente para mostrar que la restricción de $\Phi$ a la unidad cerrada balón $\mathcal{M}_1$ $\mathcal{M}$ $\sigma$- débilmente continua.

• Aquí es un boceto de por qué: Creo que de los elementos de $\mathcal{M}_*$ lineal funcionales en $\mathcal{M}$ y escribirlos en consecuencia. Para mostrar que $\Phi$ $\sigma$- débilmente continua, se debe demostrar que para todos los $f \in \mathcal{M}_*$, $f \circ \Phi \in \mathcal{M}_*$ también. Para este fin, fix $f \in \mathcal{M}_*$. Si $\Phi$ $\sigma$- débilmente continua en $\mathcal{M}_1$, $f \circ \Phi$ $\sigma$- débilmente continua en $\mathcal{M}_1$, y, por tanto, $\ker(f \circ \Phi) \cap \mathcal{M}_1$ $\sigma$- débilmente cerrado. Por alguna versión de la Krein-Smulian teorema, se deduce que el subespacio $\ker(f \circ \Phi)$ $\mathcal{M}$ $\sigma$- débilmente cerrado. Por un teorema general sobre los funcionales lineales sobre espacios vectoriales topológicos--- que están en continua si y sólo si sus núcleos están cerrados--- lo que sigue es que $f \circ \Phi$$\mathcal{M}_*$, como se desee.

• Tenga en cuenta que el mismo sería cierto para cualquier lineal mapa a partir de un doble espacio de Banach a sí mismo, no solo esta determinada proyección en $\mathcal{M}$: débil-$*$ continuidad en la unidad de la bola implica débil-$*$ continuidad en todo el espacio.

De todos modos, vamos a ver cómo las $\sigma$-débil closedness de $\mathcal{M}^s$ $i \mathcal{M}^s$ directamente implica que la restricción de $\Phi$ $\mathcal{M}_1$$\sigma$- débilmente continua.

Revisión de una red convergente $(x_n)_{n \in N}$ $\mathcal{M}_1$ con límite de $x$.

Como $\Phi$ es evidentemente norma continua, sabemos que $\Phi(\mathcal{M}_1)$ es un subconjunto de la $\sigma$-conjunto compacto $\|\Phi\| \mathcal{M}_1$. El conjunto $\Phi(\mathcal{M}_1)$ también es un subconjunto de a$\Phi(\mathcal{M}) = \mathcal{M}^s$, $\sigma$- débilmente cerrado (como Sakai probado). Como la intersección de un conjunto compacto y un conjunto cerrado es compacto, el conjunto $(\|\Phi\| \mathcal{M}_1) \cap \mathcal{M}^s$ $\sigma$- débilmente compacto subconjunto de $\mathcal{M}$. Como $(\Phi(x_n))_{n \in N}$ es una red en este conjunto, hay un punto de $a \in \Phi(\mathcal{M}_1) \cap \mathcal{M}^s$ con la propiedad de que algunos de subred $(\Phi(x_m))_{m \in M}$ $(\Phi(x_n))_{n \in N}$ converge a $a$. Dejando $b = x - a$, tenemos $$ b = x - a = \lim_{m \in M} (x_m - \Phi(x_m)). $$ Como $\Phi$ es una proyección, la red a la extrema derecha está en$\ker(\Phi) = i \mathcal{M}^s$, $\sigma$- débilmente cerrado (como Sakai probado). De ello se desprende que $b \in i \mathcal{M}^s$ y por lo tanto $$ x = a + b $$ es la única descomposición de $x$ como una suma de un elemento de $\mathcal{M}^s$ y un elemento de $i \mathcal{M}^s$. Si lo piensas un momento, la singularidad de este algebraica de descomposición implica que $a$ es la única posible límite convergente de subred de $(\Phi(x_n))_{n \in N}$. Como esta red es una red en un compacto Hausdorff espacio, se sigue que la neta $(\Phi(x_n))_{n \in N}$ debe ser convergente, a $a$, que luego de curso (por un argumento estándar) $\Phi(x)$.

Por lo $\Phi$ es continua, y la suma directa de descomposición es topológico, y $*$ $\sigma$- débilmente continua.

[Esencialmente el mismo argumento se aplica en general para mostrar que cualquier descomposición de un doble espacio de Banach en un algebraicas suma directa de los débiles-$*$ cerrado subespacios es topológico.]