¿Hay relaciones de la vida real que son simétricas y reflexivas pero no transitivas?

Question

Inspirado por Halmos ( Teoría del juego ingenuo ) . . .

Para cada una de estas tres posibles propiedades [reflexividad, simetría y transitividad], encuentra una relación que no tenga esa propiedad pero sí las otras dos.

Se puede construir cada una de estas relaciones y, en particular, una relación que es

simétrico y reflexivo pero no transitivo:

$$R=\{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)\}.$$

Claramente no es transitivo ya que $(a,b) \in R$ y $(b,c) \in R$ mientras que $(a,c) \notin R$ . Por otro lado, es reflexivo ya que $(x,x) \in R$ para todos los casos de $x$ : $x=a$ , $x=b$ y $x=c$ . De la misma manera, es simétrico ya que $(a,b) \in R$ y $(b,a) \in R$ y $(b,c) \in R$ y $(c,b) \in R$ . Sin embargo, esto no me satisface.

¿Hay ejemplos de la vida real de $R$ ?

En esta pregunta, me pregunto si hay ejemplos tangibles y no directamente matemáticos de $R$ una relación que es reflexiva y simétrica, pero no transitiva. Por ejemplo, cuando se trata de relaciones que son simétricas, podríamos decir que $R$ es equivalente a estar casado. Otro ejemplo común es la ascendencia. Si $xRy$ significa $x$ es un antepasado de $y$ , $R$ es transitivo pero no simétrico ni reflexivo.

Me gustaría ver un ejemplo en este sentido dentro de la respuesta. Gracias.

Answer 1

$\quad\quad x\;$ se ha acostado con $\;y$ ${}{}{}{}{}$

Answer 2

$x$ vive a menos de una milla de $y$ .

Es reflexivo y simétrico, pero no transitivo.

Answer 3

Mi ejemplo favorito es la sinonimia: ciertamente, cualquier palabra es sinónima de sí misma, y si uno entorna los ojos puede imaginar que si una palabra aparece en la entrada del tesauro de otra, entonces esta última aparecerá simétricamente en la entrada del tesauro de la primera. Pero la sinonimia no es transitiva.

Sin embargo, este y muchos otros ejemplos son casos especiales de vértices unidos por aristas en grafos, que es un ejemplo canónico de Tolerancia:

Las relaciones de tolerancia son relaciones binarias reflexivas y simétricas, pero generalmente no transitivas, introducidas históricamente por Poincare', que distinguió el continuo matemático del continuo físico, luego estudiadas por Halpern y, sobre todo, por el topólogo Zeeman.

Las encuestas recientes incluyen:

Peters & Wasilewski's "Tolerance spaces: origins, theoretical aspects and applications" Info Sci 2012, y Sossinsky's "Tolerance Space Theory" Acta App Math 1986, que menciona estos ejemplos:

• Espacio métrico con distancia entre puntos inferior a $\epsilon$

• Espacio topológico con una cobertura fija y 2 puntos contenidos ambos en un elemento de la cobertura

• Vértices en los mismos simples de un complejo simplicial

• Vértices unidos por una arista en un grafo no dirigido

• Secuencias que difieren en 1 (o 2, o 3) dígitos binarios

• Cosetas en un grupo con intersección no vacía

Un libro de texto interesante que analiza las tolerancias es el de Pirlot y Vincke Semiordenes , 1997.

El documento de Sossinsky continúa mencionando:

(i) Los espacios de tolerancia aparecen de forma natural en las más variadas ramas de las matemáticas;

(ii) la configuración de la tolerancia es muy conveniente para el uso de muchas herramientas matemáticas potentes existentes;

(iii) en las aplicaciones prácticas sólo se requieren resultados "dentro de la tolerancia".

y que "la tolerancia, en cierto modo, es un truco para evitar los peligros específicos de los espacios de función de dimensión infinita, por ejemplo, su no compacidad local; además, en cierto sentido, en los espacios de tolerancia, no se pueden tener grandes dimensiones finitas"

Answer 4

$x$ es indistinguible de $y$ .

La no transitividad de esta relación es mi forma favorita de explicar la no intuición del teoría de la evolución .

Answer 5

En el conjunto de países: $x$ y $y$ comparten una frontera.