Estoy teniendo grandes dificultades con el siguiente problema:
Esta pregunta se refiere a la integral de la $\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-y^2}}\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{8-x^2-y^2}}\!z\ \mathrm{d}z\ \mathrm{d}x\ \mathrm{d}y$. Dibujar o describir en palabras el dominio de integración. Reescribir la integral, tanto en coordenadas cilíndricas y esféricas. Que es más fácil evaluar?
A continuación es lo que yo creo que se han establecido hasta el momento...
La proyección de esta integral del dominio en la $xy$-el avión es la parte del círculo $x^2+y^2=4$$0\le x\le2,\ y\ge0$.
Los límites en las $z$ corresponden a
$z^2=x^2+y^2$ (cono) y $x^2+y^2+z^2=8$ (esfera).
Estos límites se cruzan en
$x^2+y^2=4$.
A continuación $z=2$ (donde los límites en las $z$ se cruzan), creo que el cono y el cilindro, $x^2+y^2=4$, están totalmente dentro de la esfera.
Sería por lo tanto sería correcto decir que la región de integración es el sólido que se extiende entre el cono y el cilindro, sobre $x\ge0$, $y\ge0$ y $0\le z\le2$? Yo estoy luchando para visualizar este problema.
Cuando intento mover y evaluar la integral en la cilíndrico/coordenadas esféricas, mis soluciones difieren por un factor de 2.
Es decir, he evaluado esta integral como,
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{8-r^2}}\!z\ r\ \mathrm{d}z\ \mathrm{d}r\ \mathrm{d}\theta=2\pi$
Y,
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2\sqrt{2}}\!\rho\ \cos\phi\ \rho^2 \sin \phi\ \mathrm{d}\rho\ \mathrm{d}\theta\ \mathrm{d}\phi=4\pi$
Puede usted por favor me ayudan a identificar dónde estoy mal?
Muchas gracias.
