¿Es un marco de Lorentz local un gráfico de coordenadas en un spacetime múltiple?

Question

Estoy recien comenzando a aprender GR. Estoy alternando entre física estudiando libros y estudiar libros de matemáticas. Yo sigo viendo el plazo marco de Lorentz y no estoy seguro de lo que significa matemáticamente.

¿Es un marco local de Lorentz en términos matemáticos un gráfico de coordenadas en un múltiple?

Answer 1

I) Dado un punto de $p\in M$ en un colector de Lorenz $(M,g)$ un local de Lorentz marco en $p$ generalmente se refiere al espacio de la tangente $T_pM$ $p$ , no el colector $M$ sí.

Tenga en cuenta que el espacio de la tangente $T_pM$ $p$ es, naturalmente, equipado con una constante métrica $g_p: T_pM \times T_pM \to \mathbb{R}$, mientras que la métrica $g$ en el colector $M$ en general podría ser curvo.

II) sin Embargo, en un barrio de la $\Omega \subseteq T_pM$ alrededor del origen $0\in T_pM$ en el espacio de la tangente $T_pM$, hay un mapa exponencial $\exp_p: \Omega \to M$ al colector $M$.

Así que en ese sentido, podemos utilizar la función exponencial de mapa para ver la $\Omega$ como un gráfico de coordenadas para un vecindario $U:=\exp_p(\Omega)\subseteq M$ en el colector $M$.

La correspondiente curva métrica $\exp_p^{\ast}(g|_U)$ en las coordenadas del gráfico de $\Omega\subseteq T_pM$ es el retroceso de la métrica $g|_U$$U\subseteq M$.

Answer 2

En geometría diferencial, un marco para un colector $M$ es una sección de la estructura de paquete de $FM$, el haz de fibras de más de $M$ cuya fibra, $p$ es el conjunto de todas las bases para $T_p M$, que es el mismo que $GL(\dim M)$. Para cualquier punto de $p$ en el dominio de un gráfico de coordenadas $x^\mu$, ya que el conjunto de $\{\frac\partial{\partial x^\mu}\big|_p\}$ es una base, cualquier coordinar gráfico le da un marco.

Al $M$ está equipada con una métrica, se puede considerar sólo bases ortonormales. Más en general, vamos a la fibra a $p$ el conjunto de tuplas ordenadas $v^i$ de los vectores de tangentes en $p$, de tal manera que $$g(v^i, v^j) = a^{ij}$$ para algunas constantes simétrica matriz $a^{ij}$ (con la misma firma que la métrica). Este es el mismo que $O(g)$ -- el grupo ortogonal de una métrica de la firma $g$. En la relatividad general, donde $g$ tiene firma $(1,3)$, esto es más comúnmente conocido como el grupo de Lorentz, y así que estos son los llamados de Lorentz marcos (o tétradas, o vierbein).

Tenga en cuenta que debemos de tomar $a^{ij} = \operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$. En muchas aplicaciones es conveniente tomar un null tetrad con $a^{01} = -1, a^{23} = 1$. Tenga en cuenta también que un cuadro de coordenadas es un marco de Lorentz si y sólo si el dominio de las coordenadas del gráfico es plana. (Se puede ver por qué?)