$S_6$ contiene un subgrupo $H$ que es isomorfo a $S_5$ pero no conjugada a $S_5$

Question

$$H = \langle (1 2 3 4), (3 4 5 6)\rangle$$

Estoy algo perdido.

Veo que $\\S_5$ está incrustado en $\\S_6$ en la forma de un pentad. Entonces la acción de $H$ en el pentad induce un homomorfismo del grupo de $H$ en las permutaciones de la synthemes, que son isomorfos a $\\S_5$. Pero no estoy seguro de cómo mostrar que el homomorfismo h es un isomorfismo, es decir no conjugado en $\\S_5$

Quiero saber si necesito aclarar algo.

Answer 1

Para ser breve: $S_6$ tiene dos clases conjugacy de subgrupos isomorfo a $S_5$. Uno de ellos es el obvio, que consta de los estabilizadores de un punto. La otra es la clase conjugacy de su subgrupo $H$. Es claro que no conjugada en $S_6$, debido a la fija por primera vez un punto, y el segundo no: actúa transitivamente. También se puede pensar en la segunda como la acción natural del grupo ${\rm PGL}(2,5)$.

Esto está relacionado con el hecho de que $S_6$ tiene la excepcional exterior automorphism de orden $2$. Este automorphism de los intercambiadores de las dos clases de $S_5$.

Answer 2

Clarificación nota: yo nunca había escuchado las palabras "penta" y "syntheme" antes de leer esta pregunta, y creo que podrían ser oscuro y obsoleto. Una búsqueda en Google me dirigió a David Joyner el libro de Aventuras en Teoría de grupos, que tuve la suerte de tener en la mano.

En el lenguaje de la teoría de grafos, el quinteto mencionado por el OP es un $1$-factorización completa de la gráfica de $K_6$, es decir, la descomposición de la gráfica en perfecto elecciones; y el synthemes son las $1$-factores decir, el perfecto elecciones. $S_6$ está actuando en el gráfico a través de su acción natural en los vértices.

Respuesta a la pregunta: Para comprobar que su homomorphism $H\rightarrow S_5$ es un isomorfismo, es necesario comprobar 2 cosas: es inyectiva y surjective.

Para comprobar surjectivity, es suficiente para saber que la imagen de los generadores de $H$ generar $S_5$. Permítanme etiqueta de su synthemes para facilitar la referencia:

$$\begin{align*} \mathbf{1}&=\{1,2\},\{3,5\},\{4,6\}\\ \mathbf{2}&=\{1,3\},\{2,4\},\{5,6\}\\ \mathbf{3}&= \{1,4\},\{2,5\},\{3,6\}\\ \mathbf{4}&=\{1,5\},\{2,6\},\{3,4\}\\ \mathbf{5}&= \{1,6\},\{2,3\},\{4,5\}\end{align*}$$

Ahora $(1234)$ induce la permutación $\mathbf{1}\mapsto \mathbf{5}\mapsto\mathbf{4}\mapsto\mathbf{3}\mapsto\mathbf{1}$ de la synthemes; por lo tanto su homomorphism mapas

$$(1234)\mapsto (\mathbf{1543})$$

Del mismo modo,

$$(3456)\mapsto (\mathbf{2345})$$

Deje $x=(\mathbf{1543}), y=(\mathbf{2345})$. Jugando, usted será capaz de demostrar que $x,y$ generar $S_5$. Por ejemplo (dudo que esto es muy eficiente, pero parece que funciona), $xy=(\mathbf{152})$, e $yxy^{-1}x=(\mathbf{14325})$. (Estoy usando la convención de ver las permutaciones como funciones de los índices, así que estoy componiendo ellos de derecha a izquierda.) Estos dos elementos generan $A_5$, por lo que la imagen de su homomorphism contiene $A_5$. Pero $x,y$ sí son impares, por lo que debe contener todos los de $S_5$.

Ahora hemos establecido un surjective homomorphism de $H$, un subgrupo de $S_6$,$S_5$. Por lo tanto $H$ es un subgrupo de $S_6$ de orden, al menos,$120$, y por lo tanto el índice en la mayoría de los $6$. Pero también podemos ver que $H$ índice de al menos 6 en el hecho de que $H$ está contenida en el estabilizador de la semana que usted ha mencionado. Hay otras 5 pentads además de esta, y $S_6$ actúa transitivamente sobre ellos. Uno puede ver esto simplemente mediante la aplicación de algunas permutaciones de su quinteto, tales como $(12),(13),(14),(15),(16)$, que conducen a diferentes pentads. Desde $S_6$ tiene una acción transitiva en al menos 6 pentads, a continuación, el estabilizador de cada uno de ellos tiene índice de al menos 6, y $H$, como un subgrupo de uno de estos estabilizadores, tiene índice de al menos 6.

Esto demuestra $H$'s índice es exactamente 6, y se sigue inmediatamente que:

• Es un isomorfismo a $S_5$;
• En realidad no son exactamente 6 pentads en la órbita de $S_6$'s de acción en el que usted ha mencionado, y $H$ es exactamente el estabilizador de éste.

Esto demuestra que $H$ es un subgrupo de $S_6$ isomorfo a $S_5$.

Como DonAntonio se menciona en los comentarios, la pregunta de la prueba de la $H$ no está conjugado de a $S_5$ es ligeramente ambiguo. Conjugacy no es una relación entre abstracta de los grupos, sino una relación entre los subgrupos de un grupo específico. Asumo que lo que se quiere decir es que el $H$ no es conjugado a "la costumbre" incorporación de $S_5$ $S_6$ como el estabilizador de uno de los índices. I. e. deje $A\subset S_6$ ser el estabilizador del índice de $6$; $A$ es naturalmente isomorfo a $S_5$, ya que actúa sobre los índices de $1,\dots,5$. Demostrar que $A$ $H$ no conjugada en $S_6$.

Como Derek Holt se mencionó, esto es inmediata a partir del hecho de que $H$ no se estabiliza cualquier índice. Ya que para todos $a\in A$, $a(6)=6$, entonces, dado cualquier $x\in S_6$,$xax^{-1}x(6)=xa(6)=x(6)$, lo $xax^{-1}$ corrige $x(6)$. Por lo tanto, cada elemento de la $xAx^{-1}$ corrige $x(6)$. Ya que no hay ningún índice fijo por cada elemento de $H$, $H$ no puede ser de la forma $xAx^{-1}$.