¿Derivación del fórmula que implica la función de Gamma?

Question

Estoy tratando de demostrar que:

$$\prod_{n=1}^{\infty}\frac{n(n+a+b)}{(n+a)(n+b)} = \frac{\Gamma(a+1)\Gamma(b+1)}{\Gamma(a+b+1)}$$

Cuando $a$ y $b$ son positivos.

Lo sé

$$\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(b+1)}{\Gamma(a+b+1)} = \frac{\int_0^{\infty}e^{-s}s^ads \int_0^{\infty}e^{-t}t^adt}{\int_0^{\infty}e^{-n}n^{a+b}dn}$$

pero estoy confundida en cuanto a cómo proceder desde aquí... ¿Debo utilizar la fórmula de producto $1/\Gamma$ en su lugar? Se agradecería cualquier dirección. Gracias.

Answer 1

Otra sugerencia (bit quizá más riguroso): la función de Beta puede ser escrito como\begin{equation} B(x,y) = \frac{x+y}{x y} \prod_{n=1}^\infty \left( 1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1}, \end{equation} el lado derecho de la fórmula anterior puede ser ampliado\begin{eqnarray} B(x,y) &=& \frac{x+y}{x y} \prod_{n=1}^\infty \left( 1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1} \\ &=& \frac{x+y}{x y} \prod_{n=1}^\infty \left( \frac{n(x+y+n)+xy}{n(x+y+n)} \right)^{-1} \\ &=& \frac{x+y}{x y} \prod_{n=1}^\infty \left( \frac{n(x+y+n)}{xy+n(x+y)+n^{2}}\right) \\ &=& \frac{x+y}{x y} \prod_{n=1}^\infty \left( \frac{n(x+y+n)}{(n+x)(n+y)}\right) \end{eqnarray}; La función Beta tiene muchas otras formas como\begin{equation} B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \end{equation} de que encontró una relación entre su lado izquierdo y mano derecha podría convertirse en fácilmente una vez que usted utilice propiedades de la función gamma.

Answer 2

Sugerencia: Utilice el fórmula de producto infinito de Euler para la función de #% de #% %.

Answer 3

Primera nota de que $x^{(n)}$, denota el aumento de factorialy $$ x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)} $$ Así que ahora $$ \prod_{n=1}^{\infty}\frac{n(n+a+b)}{(n+a)(n+b)} =\lim_{z\to\infty} \prod_{n=1}^{z}\frac{n(n+a+b)}{(n+a)(n+b)} $$ $$ = \lim_{z\to\infty} \frac{\left[\prod\limits_{n=1}^{z} n\right]\left[\prod\limits_{n=1}^{z} (n+a+b)\right]}{\left[\prod\limits_{n=1}^{z} (n+a)\right]\left[\prod\limits_{n=1}^{z} (n+b)\right]}= \lim_{z\to\infty} \frac{z!(a+b+1)^{(z)}}{(a+1)^{(z)}(b+1)^{(z)}} $$ $$ = \lim_{z\to\infty} \frac{\Gamma(z+1)\frac{\Gamma (a+b+1+z)}{\Gamma(a+b+1)}}{\left(\frac{\Gamma(a+1+z)}{\Gamma(a+1)}\right)\left(\frac{\Gamma(b+1+z)}{\Gamma(b+1)}\right)}=\lim_{z\to\infty} \frac{\Gamma(z+1)\Gamma (a+b+1+z)\Gamma(a+1)\Gamma(b+1)}{\Gamma(a+1+z)\Gamma(b+1+z)\Gamma(a+b+1)} $$ $$ =\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(b+1)}{\Gamma(a+b+1)}\lim_{z\to\infty} \frac{\Gamma(z+1)\Gamma (a+b+1+z)}{\Gamma(a+1+z)\Gamma(b+1+z)}=\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(b+1)}{\Gamma(a+b+1)} $$