Resuelve el recursivo ecuación $ f_n = \frac{2n-1}{n}f_{n-1}-\frac{n-1}{n}f_{n-2} + 1$

Question

Resolver ecuación recursiva:

$$ f_n = \frac{2n-1}{n}f_{n-1}-\frac{n-1}{n}f_{n-2} + 1$$ $f_0 = 0, f_1 = 1$

Lo he hecho hasta ahora:

$$ f_n = \frac{2n-1}{n}f_{n-1}-\frac{n-1}{n}f_{n-2} + 1- [n=0]$$

Había multiplicada por $n$ y he obtenido:

$$ nf_n = (2n-1)f_{n-1}-(n-1)f_{n-2} + n- n[n=0]$$ $$ \sum nf_n x^n = \sum(2n-1)f_{n-1}x^n-\sum (n-1)f_{n-2}x^n + \sum n x^n $$

$$ \sum nf_n x^n = \sum(2n-1)f_{n-1}x^n-\sum (n-1)f_{n-2}x^n + \frac{1}{(1-z)^2} - \frac{1}{1-z} $$

Pero no sé qué hacer con las piezas con $n$. Supongo que puede haber derivación útil o integración, pero no estoy seguro. ¿Cualquier sugerencias?

Answer 1

Si $g(x)$ es su generación función, $g'(x)=\sum nf_nx^{n-1}$, que $xg'(x)=\sum nf_nx^n$. Entonces

$$\sum(2n-1)f_{n-1}x^n=x\sum(2n+1)f_nx^n=2x^2g'(x)+xg(x)\;,$$

y usted puede manejar la suma restante del mismo modo. No he comprobado a ver si la ecuación diferencial resultante es agradable o desagradable. Tenga en cuenta que el nombre de la variable cambió de $x$ $z$ en los dos últimos términos.

Answer 2

Vamos a tomar una foto en este: $$ f_n - f_ {n - 1} = \frac{n - 1} {n} (f_ {n - 1} - f_ {n - 2}) + 1 $$ esto inmediatamente sugiere la sustitución $g_n = f_n - f_{n - 1}$, que $g_1 = f_1 - f_0 = 1$: $$ g_n - \frac{n - 1} g_ {n} {n - 1} = 1 $$ primera orden de recurrencia lineal no homogénea, el sumador factor $n$ es sencillo de ver aquí: $$ g_n n - (n - 1) g_ {n - 1} = n $$ Summing : $$\begin{align*} \sum_{2 \le k \le n} (k g_k - (k - 1) g_{k - 1}) &= \sum_{2 \le k \le n} k \\ n g_n - 1 \cdot g_1 &= \frac{n (n + 1)}{2} - 1 \\ g_n &= \frac{n + 1}{2} \\ f_n - f_{n - 1} &= \frac{n + 1}{2} \\ \sum_{1 \le k \le n} (f_n - f_{n - 1}) &= \sum_{1 \le k \le n} \frac{k + 1}{2} \\ f_n - f_0 &= \frac{1}{2} \left( \frac{n (n + 1)}{2} + n \right) \\ f_n &= \frac{n (n + 3)}{4} \end{align*} $$ me dice Maxima comprueba hacia fuera. ¡bonita!

Answer 3

Intenta ecuaciones de diferencia? El original de la expresión puede reescribirse como (indicar $\Delta f_k=f_{k}-f_{k-1}$) $$ \Delta f_{k}=\frac{k-1}{k}\Delta f_{k-1}+1 =\frac{k-1}{k} \cdot \frac{k-2}{k-1} \Delta f_{k-2} + \frac{k-1}{k}+1= \ldots =\frac{1}{k} \Delta f_1 + \frac{k-1}{k} \\ + \frac{k-2}{k-1}+\ldots + 1 = \frac{1}{k} \Delta f_1 + k - H_k $$ Sumando ambos lados de más de $k$ y el uso de los valores límite que usted debe obtener algo como (no he comprobado el álgebra!) $$ f_n= H_n + \frac{n(n+1)}{2}-(n+1)(H_n-1) $$